2021年湖北省宜昌中考数学第23题几何综合题

原题呈现

23．（11分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE＝BC，EF⊥CD，垂足为F．将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到四边形CB'E'F′，B′E′所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K．E′F′所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B′F′交CD于点O．

（1）如图1，求证：四边形BEFC是正方形；

（2）如图2，当点Q和点D重合时．

①求证：GC＝DC；

②若OK＝1，CO＝2，求线段GP的长；

（3）如图3，若BM∥F′B′交GP于点M，tan∠G＝1/2，求S_△GMB/S_△CF´H的值．

图文解析

相似得B'K:CF'=1:2，所以B'K=E'K.

由B'K=E'K，可得KE':CF'=1:3，A型相似则DK:DC=KE':CF'=1:2，所以CD=2CK=6，所以CG=CD=6，在Rt△GCK中，勾股可求GK=3√5.

由DK=CK，易证△PDK≌△GCK，所以KP=GK=3√5. 所以GP=6√5.

tanG=tan∠F'CH=1/2，所以F'H:CF'=1:2，而CF'=CB'，故

F'H:CB'=1:2，又因为F'H∥CB'，故点H为PC的中点，所以

S_△CF'H=S_△PF'H，则S_△CF'H=S_△CB'P/4.

tanG=1/2，所以GC=2CK，而CP=2CH=2CK，所以CG=CP

所以S_△GCB'=S_△CB'P，因为S_△CF'H=S_△CB'P/4，则S_△CF'H=S_△GB'P/8.

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