上数学课做笔记吗？看看数学大师如何说
我们之前介绍过樊畿的故事
在 曾被认为是民科的De Branges最终解决了比贝尔巴赫猜想 里面也引用本文的一段文字《侠肝义胆：樊畿义助德·勃兰治攻克世界难题》。这篇文章前一部分还有个讲Ky Fan教学生做笔记的故事，也很有意思。为完整性，转载全文。
师严道尊：当助教，学樊畿教书育人
1983年春季，是我在UCSB留学的第二个学期，樊畿教授给数学系高年级学生开了一门“高等线性代数”课程，数学系安排我给樊先生当助教。在美国大学里，做助教是不必随堂听主讲教授讲课的。但这次情况就不同寻常了，因为我早就知道，先生早年在北大读二年级时，时逢德国施佩纳教授在北大讲授“近世代数”，采用他与施赖埃尔教授合著的两本德文原版书作为教材。青年的樊畿不仅数学领会得好，而且德文也很好，课听完了，两本书也翻译出来了。两书合一，定名为《解析几何与代数》，由当时北大数学系主任冯祖荀先生作序，推荐给商务印书馆，在1935年作为“大学丛书”出版发行了。此书对后来学者影响很大，以至不断再版，直到1960年还发行了第七版。我60年代在北大读书，正是从这本书里“认识”樊畿的，心中暗自疑问：如今他在哪儿？所以当樊先生又亲自讲这门课，我心中未免有些激动与好奇，况且时间上也不冲突，我又是本课助教，名正言顺，就去随堂听课了。
虽然那仅仅是数学系高年级学生的一门基础课，但樊先生讲课绝对是大师风范，严谨认真，高屋建瓴又能循循善诱，不仅表达叙述非常讲究，而且板书也一丝不苟。每个概念的来龙去脉都交代得清清楚楚，透彻深刻。先生的这门课完全不落俗套，整个课程的结构系统都表达出他对于“线性代数”独特的看法。我自己感到，先生其实是把“线性算子”的某些背景和理论都在有限维空间里展现给学生了。若有学生日后学习“线性算子理论”，他们就一定会心中有“例”，有很多简单而具体的例子，这对于学习抽象数学是非常重要的。
樊先生对学生要求极其严格，其严格程度远超过一般美国教授的通常做法与标准，就是在国内我也没有见过像他那样严格要求学生的教授。例如，他要求每个学生必须好好做笔记。有一次，他讲课中注意到有个学生不做笔记，于是大发脾气，停下讲课质问那个学生：“你不做笔记，是否能把我讲课内容记得住？”学生回答说“不能完全记住。” 先生更加生气，问：“那你为什么不做笔记？”学生无言以对。先生于是又训斥道：“你不是来好好学习数学的，而是来我的课堂看热闹的。我强烈建议你出去！”那个学生没有出去，而是拿出纸笔开始做笔记。一年后先生为数学系博士生开设“拓扑群”课程，我有一位自命不凡的美国同窗，他上任何课都从来不做笔记，他和我同来选修这门课，想不到这一幕又再次上演。同样，这位同窗掏出笔来，又向别人要来几页白纸，摆出开始做笔记的姿态，等待先生训完。从此以后，这位仁兄再也不敢掉以轻心。我私下问过先生：做不做笔记是学生的自由，何必如此认真？我记得他的回答是：首先，我的讲课内容不在任何一本现成的书里，我也不相信有任何人能光凭脑袋就可以记住我的讲课内容。不做笔记是懒惰，懒惰的人可以学数学吗？在我的课堂上没有“自由”，要“自由”，就别来上我的课！所以我建议他出去，别在我的课堂上“受罪”！
在美国大学的课堂上一般是非常自由的，学生可以随时随地打断教授讲课，提出各式各样的问题，甚至是愚蠢可笑的问题，而大多教授也不以为忤。但在樊先生的课堂上，如果学生问出不长脑子的愚蠢问题，则必定会受到严厉训斥。先生的观念是：学数学就得用脑子，不肯用脑子就不要学数学！一次先生在课堂上发问，问的是某个“子空间”的“维数”，一个学生应声回答，但他所答非所问，回答的是那个“子空间”是什么。先生把粉笔往桌上一拍，然后下讲台、疾步走到这位学生面前，指着他的鼻子训道：“我问的是‘你的年龄’，不是‘你’！”
这个班的学生经过先生两个星期的调教以后，面目一新，个个学习努力，不敢懈怠，力争上游。我还发现了班上有两三个颇有天分的好学生，不仅作业中的那些难题完成得好，还常常在我的辅导课上提出些比较深刻的问题和我讨论，看来是钻研进去了。后来先生也发现了他们，非常高兴，经常嘱咐我要出些难些的题目特别训练他们。其中一位学生后来考取了UCSB的数学研究生，选择数学为其终生职业。
期中考试过后，樊先生要出国开会，指定我给他代课一周，这令我非常紧张。他把我叫到他的办公室，先是表扬了一通我的数学与英文，给我打气一番，然后把这一周课的教学计划仔细地交代给我，最后给我的是他预先写好的讲课提纲。我从他的讲课提纲中看到他备课非常仔细。一位数学大师，为本科生讲基础课，竟肯如此花费心血，实在出乎我的意料！看来，正是先生那坦荡、耿直的性格中的威严，对数学科学的执著，对学生责任心的强烈，使那些即便桀骜不驯的学生也对先生大为折服。
春风化雨：樊畿经典名言：
Every Waking Moment!
1985 年，樊畿教授即将正式退休。UCSB是他已经工作了20年的地方，学校与数学系都对樊先生异常尊重，先生自己也对这所大学有很深厚的感情。因此校方责成数学系负责策划，在那年的暑假中为他举办一个隆重的退休纪念活动。先生的退休纪念活动连续三天，隆重热闹，主要活动内容是学术报告会，小组研讨会，社交叙旧以及招待宴会等。参加纪念活动的学者上百人，来自世界各地，其中不乏世界著名大数学家与社会名流，华人包括大陆的、台湾的和香港的数学家也来了不少。他的退休纪念活动成为当年美国数学界的一件盛事。
先生退休纪念活动的第一天晚上，UCSB校方举办隆重的宴会，庆贺樊畿教授的辉煌成就和光荣退休。宴会上除了樊先生自己的退休感言之外，先生的故旧、学生纷纷登台致辞。令我至今记忆犹新的是，我的一位学长在那个宴会上的“表演”。这位学长毕业后去了美国“硅谷”，改行进了工业界，后来又独立开办公司，创业成功，成了位小有名气和财富的企业家。此人西装革履登台，随讲随脱，脱到上衣只剩一件T恤时，大家才看清楚原来那上面印着一行字：EVERY WAKING MOMENT。全场轰然大笑。说来，这是有关樊先生的一个有名的典故。
樊先生1965年来到UCSB任教，20年间做过系主任、研究生顾问等行政工作。先生做事一向认真负责，在担任研究生顾问的几年里，先生每个学期开学之初都要检查每个研究生上学期的成绩，为研究生新学期的选课提供建议。为尽督导之责，新学期开学之初先生必定召集全系研究生开会训话。在他的“训词”当中，常常说的一句话是：“你们现在已经是职业数学家了，只要醒着(Every Waking Moment)，你就必须思考数学！”想起来华罗庚先生也常常用“拳不离手，曲不离口”和“熟能生巧，勤以补拙”等成语俗话激励学生，两位大师表达的是同样一个意思。樊先生的语言特别有个性，完全是他自己的特色的英文，表达他自己的观念，生动而富有哲理。先生的这句话说出来，掷地有声，流传至今。研究生们喜爱先生的话，就自己定做了一批T恤，上面特地印上了樊先生这句经典名言中的三个关键词：EVERY WAKING MOMENT。 那晚，这位学长把这件特制的T恤穿来了，上演了一场令人捧腹，却温馨感人的“脱衣”秀。
樊先生诲人不倦，常有妙语惊人。教导学生也并非永远是板脸训斥。相反，先生非常风趣，爱打比方。一次他对我说：“跳蚤不是什么人都咬，挨了跳蚤咬的人，不一定都起大包。”他的意思是，一个好的数学家必须是个敏感的人。同样一本书，或者同一篇文章，只有敏感的人才会看出问题，才会产生灵感，才会发挥出来自己的创造力。缺乏敏感的人，尽管书读了不少，但是什么也看不出来，焉能有创造发明？
回想起来，和先生谈话，绝对是三句话不离“数学”，数学已经融入了他的生命。先生曾对我说过：“不论我遇到什么烦心的事儿，心情很坏的时候，我就看数学、想数学，马上就平静下来了。”
侠肝义胆：樊畿义助德·勃兰治攻克世界难题
樊先生在指导学生如何选定研究方向时，告诫我们：应当留心和研究新颖活跃的课题。以“函数论”的研究为例，那些已经成熟得“死掉了”的数学分支，是不值得往里拼命钻牛角尖的。方向选错，无异于歧路亡羊。先生还说：“是不是活的、好的数学，如果自己不能判断，那只要看看里面有没有很多好的数学家在做研究。”
但是先生对于潜心研究世界难题的数学家不但肯定，而且给予帮助。
1984年秋天，数学界出了一条大新闻，在美国CNN等大媒体上播出的新闻是：普渡大学的教授德·勃兰治最终证明了“比贝尔巴赫猜想”，一个在1916年由德国数学家比贝尔巴赫提出，从此困扰了全世界数学家整整68年的难题。德·勃兰治因此也成名了。这个数学界的重大事件就与樊先生有直接的关系。
德·勃兰治喜欢“啃硬骨头”，专攻那些困扰全世界数学家多年的难题。 “不变子空间猜想” 和“比贝尔巴赫猜想”一样，也是这样一个悬而未决的难题。1964年，正当而立之年的德·勃兰治要为他的疏忽付出代价了，他曾经以为自己已经解决了“不变子空间猜想”的问题，并向外界作出宣布，不幸的是，他的证明里有一个错误。当错误被别人发现后，不仅他的证明被否定，而且连他这个人也被否定了。
摆在全世界数学家面前的那些数学难题的魅力就在于：谁如果能解决某个难题，毫无疑问他可以立刻成名。但如果他弄错了，遭到的也毫无疑问是讥笑和对其学术品格的质疑。德·勃兰治曾经向樊先生诉苦：有一次他在系里复印材料，系主任看见后竟对他说：“你最好不要再浪费纸了!”甚至有人把他当“疯子”对待，令他恶名在外，他的文章已经没有地方可以发表了。原本就很孤独的德·勃兰治，彻底被孤立了，真成了茕茕孑立，形影相吊。
樊先生对身处逆境20年的德·勃兰治给予了无私的、不倦的援助。先生对我讲：“德·勃兰治犯的错误，当然是不应该的。但那是一个隐藏得很深、极其不容易发现的错误，他用了别人的一个结果，上了别人的当！德·勃兰治不是那种‘拆烂污’的人，犯的是一个应该可以被原谅的错误。他处境困难，我如果不帮他，大约没有别人肯帮他了。”我回想起来先生这些话，觉得“话如其人”，先生讲话办事一向公允平实、古道热肠、侠肝义胆。同时，先生自有他独到的学识与眼力，准确地判断了德·勃兰治的治学素养与能力。所以，多年来，德·勃兰治写的文章，无一不是经先生帮助才得以发表，不是在先生自己所负责编辑的刊物上登载，就是被先生推荐到更合适的刊物。
1984年的德·勃兰治谨慎多了，他反复检验自己的证明，自信他已经确实解决了“比贝尔巴赫猜想”这个难题以后，他第一个告诉的人就是恩人樊畿教授，并向先生请教主意。先生建议他去苏联，去找那里的“函数论”学者们仔细推敲。几个月后，德·勃兰治的工作获得了内行的肯定，并在苏联数学家的帮助下，简化改进了证明。回到美国后，立刻引起轰动，这就出现了我前面提到的美国CNN和其他主要媒体的相关新闻报道，从此“比贝尔巴赫猜想”应当改称为“德·勃兰治定理”了。
新闻报道几天之后，德·勃兰治教授应樊畿教授之邀来到UCSB数学系，做了关于如何解决“比贝尔巴赫猜想”的第一场公开的学术报告。我在UCSB的四年中，这是樊先生亲自主持的唯一一场学术报告会议，先生的第一句话是：“今天的学术报告非比寻常！”德·勃兰治演讲前，我陪樊先生在数学系的会客室接待他。先生与他天南海北，时而英语，时而法文。我的印象是，德·勃兰治绝不是个“书呆子”。他在向先生谈起苏联数学家的时候，甚至还有几分风趣。只是这位专注于学术的天才，在他的笑容和言谈举止中，有一点点令我觉察得到的神经质。
在成功地解决了“比贝尔巴赫猜想”之后，52岁的德·勃兰治一举成名。他应邀到处演讲，并且还成为了1986年国际数学家大会的演讲人之一。在“函数论”中，出现了以他的名字命名的“德·勃兰治函数”和“德·勃兰治空间”这些概念。德·勃兰治成为了普渡大学的以艾德华·伊 利奥特冠名的“杰出数学教授”，并在国际上连续获得过几个大奖。面对众多的锦上添花者，年过半百的德·勃兰治内心真正感谢的是当年的雪中送炭人。
樊先生在他退休前，最后一次给本科学生讲“复分析”课程，“比贝尔巴赫猜想”， 或者说“德·勃兰治定理”，作为先生的课堂教学内容，放在最后一节课来讲，我跑去旁听。先生在50分钟内，5分钟讲期末大考要求，5分钟留给学生提问。先生只用了40分钟，不仅把“比贝尔巴赫猜想”的来龙去脉讲得清清楚楚，还把证明的思路解释得明明白白。大师的不平凡处就在于他把问题看得透彻，处理问题化繁为简，探骊得珠，举重若轻。