42解析几何解法：巧借东风-定值问题

42：巧借东风 - 定值问题

(2020山东)已知椭圆

:

的离心率为

,且过点

.

(1)求椭圆

的方程;

(2)点

,

在

上,且

,

,

为垂足.证明:存在定点

,使得

为定值.

解：(1)由题意得

,

,

,解得

,

.所以椭圆

的方程为

.

(2)法一(设直线

的方程)

设

,

若直线

与

轴不垂直,设直线

的方程为

,代入

得

.于是

,

.①

由

得

,可得

,将①代入可得

即

.

因为

不在直线

上,所以

,故

且

.

即

.于是直线

的方程为

.

所以直线

过定点

.

若直线

与

轴垂直,可得

,

由

,又

,解得

.

即直线

的方程为

,过点

.

令

为

的中点,即

.若

与

不重合,则由

得

;若

与

重合,则

.

综上,存在点

,使得

为定值.

法二(设直线

的斜率为

)

设

,

,

若直线

与坐标轴不平行,设直线

的方程为

,代入

,

得

,于是

,

所以

,代入

得

,

即

,同理可得

.

所以直线

的方程为

即

,由

,得

,

故直线

过定点

.

令

为

的中点,即

.若

与

不重合,则由

得

;若

与

重合,则

.

综上,存在点

,使得

为定值.综上,存在点

,使得

为定值.

法三(曲线系方程求解)

若直线

不与坐标轴平行,直线

与

轴不垂直,

,

则设直线

的方程为

,即

,

直线

的方程为

,即

,

直线

的方程为

,即

,所以过

,

,

三点的曲线系方程为

,①

易得过点

与椭圆

相切的直线方程为

,所以过

,

,

三点的曲线系方程为

,②

展开等式①②,对比各项系数可得

,

故直线

的方程为

,易得过定点

.

令

为

的中点,即

.若

与

不重合,则由

得

;若

与

重合,则

.

综上,存在点

,使得

为定值.

圆锥曲线中定值问题实质上是探究动态的圆锥曲线中的不变性,并且常与轨迹问题、

曲线系问题等相结合,深入考查直线和圆锥曲线位置关系等相关知识.常要用到数形结合、分类讨论、化归与转化、函数与方程等数学思想方法.

1.圆锥曲线中定值问题的常见题型及解题策略

(1)求某线段长度为定值,利用长度公式将要探求的线段表示出来,然后利用题中的

条件(如直线与曲线相交等),对表达式进行化简、变形即可求得.

(2)求代数式为定值,依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,

化简即可得出定值.

(3)求点到直线的距离为定值,利用点到直线的距离公式得到距离的解析式,再利用

题设条件化简、变形求得.

2.求解定值问题常用的方法

(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.

(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.

圆锥曲线中常见定值

(1)若线段

是过抛物线

:

焦点

的任意一条弦,则

为定值

.

(2)若线段

是过椭圆

:

焦点

的任意一条弦,则

为定值

.

(3)若线段

是过双曲线

:

焦点

的任意一条弦,则

为定值

.

(4)若

是椭圆

(或双曲线

)上任一点,

是过中心

的任意一条弦,且直线

,

的斜率都存在,则直线

,

的斜率之积为定值

(或

).

1.(2020山西运城一模)已知椭圆

:

的长轴长为4,离心率

.

(1)求椭圆

的方程;

(2)设

,

分别为椭圆与

轴正半轴和

轴正半轴的交点,

是椭圆

上在第一象限的一点,直线

与

轴交于点

,直线

与

轴交于点

,问

与

面积之差是不是定值?请说明理由.

2.(2018北京)已知抛物线

:

经过点

.过点

的直线

与抛物线

有两个不同的交点

,

,且直线

交

轴于点

,直线

交

轴于

.

(1)求直线

的斜率的取值范围;

(2)设

为原点,

,

,求证:

为定值.