2020学年九年级上册期末温州卷第10题分析 / 四六文摘

2020学年温州期末九上数学卷T10

“

原题

呈现

”

（2020年温州九上期末卷T10）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边向外作正方形，连结CG交AB于点M，连结CE，CH．若CH＝2CE，则

的值为（）

A．

B．

C．

D．

“

详细思路

分析

”

从图形上看，本题有着一定的熟悉之感，是学生经常会遇到的勾股图。纵观温州的各类模拟卷、期末卷和中考卷，似乎命题者对勾股图有着特殊的钟爱。

回到题目本身，既然是一道选择题的压轴题，本身应该有着一定的难度（也许老师们并不觉得难）。那对于学生来说，本题的难点是什么？切入点又是什么？下面就来具体分析一下这个问题。

从问题出发，要求的是

的值，可见该图形是一个形状不会发生变化的图形。从题干描述中可以发现，整个图形的结构应该是由点C固定（即C点确定的整个图形的形状）。而∠ACB=90°，故AC∶BC的值确定，C的位置也随之确定，即确定∠ABC的大小即可。

不难看出，图中△ACE∽△BHC，由CH=2CE可知其相似比为1∶2。即tan∠ABC=

。至此，整个图形的形状被我们确定下来。由于需要求的是比值，考虑到是选择题，不妨令AC=

，则BC=

，AB=5。由此，整个图形的形状和大小都确定下来了，离我们要求的只有一步之遥。

下面再进一步分析如何求

。因为上面的假设，已知AB=5，故只需要求出AM和BM中任意一条线段长度即可。

法1

不难发现，BM在Rt△MBG中，且已知BG=5，故只需要再有一边或一角，即可求出BM，若要再求出一个条件，需要构造新的直角三角形，所以作出Rt△CKB，因为∠KCB=∠CBA，易求得BK=2，CK=4，再利用△MBG∽△CKG即可求出BM=

，则AM=

，所以

。

法2

若从线段AM出发思考，虽然不能直接求出AM，但是此图形结构，易想到共点C作AB的垂线，分割AM，由三角函数相关知识易求得CN=2，AN=1，BN=4。此时只需要再求出NM即可，随即可以发现△CNM∽△GBM，利用相似，即可求出NM=

，BM=

，所以

。

法3

仍然从线段AM出发思考，若能构造包含AM的相似三角形，从已有的图形结构出发，可以尝试延长CA和GF。此时可以得到一个相似的基本图形“A”型。即△ACM∽△NCG，故只要能够求出AN和NG即可求出AM。在△AFN中，易知AF=5，tan∠NAF=tan∠CBA=1∶2，所以NF=，AN=。利用相似即可求出AM=，所以。当然左侧可以这样构造，右侧应该也可以同样构造。这里可以大家自己思考，写出具体过程。