解析几何：用代数的方法解决更难的几何题
你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。这一讲我们学习解析几何，这是一种能解决几何难题的妙法。
我们前面说了几何是最早出现的数学分支之一，一般来讲，人类的知识体系是从易到难建立的，但是几何学似乎要比后来出现的代数学来得难，这可能是人类逻辑推理的能力反而不如套用公式的能力强的原因。
那么能否使用代数的方法解决几何学问题呢？也就是写出相应的直线或者曲线的方程，然后再解方程，因为解方程比作几何推论简单。
这是一个非常大胆、极具创造性的想法，可以用“伟大”来形容。我想，即便让我活十辈子，我也想不出这样好的想法。想到这种伟大想法的人，也是一位伟大的人，他是法国思想家和数学家笛卡尔。
解析几何因为要用到坐标，因此你也会偶尔看到坐标几何的说法，它和解析几何是一回事。在西方，很多时候它被称为笛卡尔几何，这是为了纪念笛卡尔，但是在国内我们可能是为了刻意抹去一些外国的人名，你很少看到这样的说法。
不过这样一来，学生们对解析几何的来龙去脉就缺乏了解了。特别是我们所谓的平面直角坐标在西方一律被称为笛卡尔坐标，没有“平面直角坐标”这个词。如果你将来去那里的大学读书，和人家说平面直角坐标，没有人懂。
因此，在这里我给家长一个建议，对于那些教科书中缺失了的数学名词里的外国人名，家长辛苦一点，到网上查一下，给孩子补上。
讲回到解析几何，为什么笛卡尔要设计一种平面坐标，然后将几何图形放到坐标中用代数的方法研究呢？他的目的当然是为了把几何问题变简单，尤其是那些曲线、圆相关的几何问题。
如果你还对初中的数学有印象，就会发现几何在引进圆之后，变得特别难，无论是证明还是计算都是如此，甚至那些内切、外切等概念都很容易混。如果你遇到的是椭圆怎么办？那你的头真的要大了。
其实在笛卡尔之前，已经有人开始研究代数和几何的关系了，但是那时人们除了研究圆的规律，没有太多的几何学问题非要使用坐标和代数不可，因此偶然出现一些零星的方法形成不了知识体系。
到了笛卡尔的时代，情况就变了。开普勒已经提出了行星运动的三定律，这三个定律都是基于椭圆轨道的，而不是当初哥白尼和伽利略基于圆形轨道的。更难的是，当时科学家和仪器商人们开始利用玻璃透镜制造望远镜，就需要研究光在曲面上的折射和反射问题。
这些问题使用传统的几何学工具都很难解决。笛卡尔就是在这个基础之上发明了笛卡尔坐标，以及解析几何的。
注：在笛卡尔之前，虽然有托勒密使用的球面坐标，也有了把平面按照水平和垂直线划分出区域的方法，但是没有人在平面上用两个彼此垂直的无限长的直线设定坐标的方法。因此后世就把这种坐标用他的名字命名了。
笛卡尔发明解析几何的过程很传奇，他身体一直不好，经常躺在病床上，据说他是看到房顶上绕着弧线飞来飞去的苍蝇，想到了把房顶画上格子，来追踪苍蝇的轨迹。
当然，笛卡尔并非是因为看到苍蝇飞就灵机一动地发明了解析几何，而是在脑子里先有构造了解析几何体系的完整想法，并且很清楚如何将平面几何中的图形用代数的公式来描绘。
我们先来看看直线和方程的关系。在代数中有二元一次方程，比如AX+BY+C=0。在平面坐标上，它代表一根直线，这样的一次方程也因此被统称为线性方程。在一些特殊的情况下，比如A=0，它就变成了水平线，反之，如果B=0，就变成了垂直线。如果A=B，直线就和水平、垂直方向都有45度的夹角。
(图一)
代数和几何被统一起来之后带来了很多好处。
一方面，一些复杂的几何学问题可以变得很容易。比如在几何中有一个定理，三角形的三条中线交于一点，你要用单纯几何的办法证明它还得费点周章，但是用代数的方法在坐标系下证明它，就极为容易。这里限于篇幅的原因我就不给出推导的步骤了，大家记住这个结论就好。
另一方面，解析几何也可以让很多原本看似抽象的代数问题变得很直观。比如我们前面在介绍鸡兔同笼和方程组问题时介绍了二元一次方程组，即每一个方程有两个未知数，方程中的未知数都只能是一次方，这样两个方程一组。但是，当时我们并没有讲这样两个方程所构成的方程组是否有解，事实上一些二元一次方程组无解。
比如：
X-Y+3=0
2X-2Y=0
就无解。
另外，有一些方程组却有无数解。
比如：
X-Y+3=0
2X-2Y+6=0
接下来问题来了。什么时候方程组有一个解，有无数解，或者根本无解呢？在初中，老师会教给你一些判断标准，这些标准能不能学会并且体会其中的道理，就看各个学生的悟性和理解力了。如果悟性和理解力不够，就看记忆力了。
但是，这些能力都很难复制，张三的悟性给不了李四，李四记住了一个数学知识点，未必能记住下一个。其实学好数学靠的是有一套系统性的方法，和能够帮助理解的工具。对于解方程来讲，解析几何就是理解它们含义的工具。
我们知道，任给一组X和Y，它们其实对应于平面坐标上的一个点。而一个二元一次方程则代表一根直线，方程组中的两个方程就对应于两根直线。
如果这两个方程所代表的直线相交，如下图2所示。那么就说明有一点既在直线1上，又在直线2上，这个交点所对应的X和Y，也就是方程组的解。
如果两条直线平行，就不可能有交点。这就说明不可能有一个点既在直线1上，也在直线2上，那么方程组就无解。
当然，如果两条直线完全重合，那么就有无数个点既在直线1上，也在直线2上，相应的方程就有无数解。
我们把上述三种直线之间的关系画在下面的坐标中。前后三张图中的情形，分别代表有一个解、无解和有很多解的情况。
(图二)一个解
(图三)无解
(图四)很多解
当然，我们讲了，数学不能靠测量，解方程不能靠在图上画线，但是利用解析几何这个工具，我们可以很好地理解方程的本质，更好地学会解方程。
接下来，我们就用解析几何这个工具，把之前讲到的一些知识点再串联起来。
首先还要再说一次毕达哥拉斯定理，在笛卡尔坐标中，计算任何两个点之间的距离，必须要用到毕达哥拉斯定理。
其次，我们把前面所说的一元二次方程和一元三次方程，同坐标系中的一些曲线对应起来。一元二次方程对应于抛物线，我在下图中画了三根抛物线。
第一根抛物线和x轴，也就是横轴有两个交点，也就是说，有两个可能的x值，让方程等于零，这两个值就是相应方程的两个解。第二个则只有一个交点，因此相应的方程只有一个解，第三个干脆没有交点，因此对应的方程无解。
两个解
一个解
无解
和二次方程不同的是，三次方程对应的曲线总是一头往负无穷大走，另一头趋向正无穷大，是下面这个图的形状。
三次方程曲线形状
当曲线从负无穷往正无穷变化时，它一定要经过零这个点。我们前面在介绍三次方程解法时留了一个未回答的问题，就是三次方程一定有实数解。今天我们用解析几何这个工具将它解决了。
通过讲解解析几何发展的历史和它大致的内容，我们首先应该进一步深刻地理解为什么说数学是一种工具。解析几何这种工具在宇宙中是不存在的，完全是笛卡尔等人根据之前的数学理论，按照逻辑凭空构建出来的。
但是它一旦出现，就能很方便地解决过去看似比较难的几何问题，也能解释为什么三次方程一定有实数解这样过去解释不了的问题。从这里，我希望大家能体会数学上的“虚”是可以为现实中的“实”服务这个普遍规律。
接下来，我不知道你是否体会了“融会贯通”这四个字在学习数学过程中的含义。我们通过解析几何把之前很多知识点又串联了起来。学好数学，不是做很多超出自己理解能力的难题，而是把自己有能力理解的知识融会贯通起来。
这样至少能保证数学考80分，而且以后想用的时候，还能把数学这个工具捡回来使用，否则刷再多的题，考试时遇到两道不会做的题，照样考不到80分，更糟糕的是考完试之后，收获几乎是零。
当一个人40岁的时候，发现自己从6岁到大学毕业22岁这16年间，花了1/3的时间学的数学一点用没有，除了会算加减乘除全忘光了，岂不悲哀？早知是这样，何必要刷那些反正自己也理解不了的题呢？
最后，还要强调学会使用工具的重要性，要把学习数学当成学习使用各种工具的练习。解析几何不但承前，而且启后，在它的基础上出现了微积分，笛卡尔也因此成为了牛顿所说的前面的巨人。这些内容，我们到了微积分模块再讲。
下一讲，我们讨论一下几何学公理化体系的本质，以及如何使用构建公理化体系的思维方式。——吴军《数学通识五十讲》