“初相位”的“再相识”

前段时间在微信号上发表一篇为“三角函数区间问题的秒杀”这篇文章，有朋友询问：在求初相时为什么要用最值点求，而不能用零点求？其实是可以用零点求的，只是思维量要大于用最值点求初相的思维量，所以教师在教学时，通常强调用最值点求。

譬如在上篇文章中提到的：

我们尝试利用零点求解：

求出两个答案，显然有一个是不正确的，我们需要去舍去一个不符合题意的答案，为什么会出现这一情况，为了解释这一问题，我们今天重新认识这位老朋友“初相位”！

我们知道从物理中的简谐运动解释三角函数:

相位是对于一个波，特定的时刻在它循环中的位置：一种它是否在波峰、波谷或它们之间的某点的标度。相位描述信号波形变化的度量，通常以度（角度）作为单位，也称作相角。而初相位是指在0时的相位，也称初相角或初相。初相反映了交流电交变的起点，与时间起点的选择有关。

也就是说在伸缩（周期）变换中，我们可以把三角函数看作动态的有弹性的钢绳，在伸缩（周期）变换中，把与y轴交点的点固定，其余的都向y轴方向压缩或者拉伸而得到！

通过以上的图形演示，我们能够发现，在未涉及振幅变换时，函数图像的质点在变化前后的单调趋势并没有改变，所以，我们借助于单调性，就可以把这一问题唯一化。我们返回再看，最初的问题：

接下来，我们在把这道题改变一下：

在这道改编后的问题中，没有了M的坐标，不易求出周期，那我们能否通过点P与点N的坐标求出周期呢？我们有之前的伸缩平移变换中知道，这些质点在变化中的相对位置是不变的，也就是说比例相同。所以，我们也可以借助于这两点的相对位置求出周期。

或者，我们通过伸缩变换可以得到：

很容易发现，我们所用的结论：

对于正弦型函数，相邻两个对称轴（最值点）之间的距离是周期的一半，相邻两个对称中心之间的距离是周期的一半，相邻的对称轴与对称中心之间的水平距离是周期的四分之一。这是这一问题的特殊情况。

我们再回到原始问题，可以通过完整一个周期的图像直接得到函数的初相：

我们从运动的角度更容易直观地刻画函数图像变换的“前世今生”，图像变换的本质就是点的变换，再从点的变换到形的变换，最后从形变换的表象中实现了点与点变换本质的把握。

怎么样，通过这篇文章，你是不是对三角函数的“初相位”有了新的认识，更透彻的认识。

【前段时间，总会有读者在公众号的消息一栏给我留言，由于小编工作的特殊性，不能及时看到留言，当看到留言时，想回复，却过了回复时间（我只能与两天内的朋友们互动），所以以后大家如果有什么疑问，不要在公众号上发消息，可以选择文章的评论或者加我好友私聊，我的微信号码：“jingruiqiang”或者“282515512”。

近期总有新朋友给我发消息“历史消息”，想看到历史文章，抱歉，因为我不太会设置“自定义菜单”，是我的无知造就了您的徒劳，想看我历史文章的朋友们，可以进入我公众号的页面，点击右上方的“小人儿”，然后点击“查看历史消息”即可。

耳娱心憩之余如有您偶或中意的“数学风景”，请帮我们随手点赞、转发。书不尽言！您的鼓励是我们最大的动力。谢谢！】

微信号：shuxuefengjing数学风景，您掌上的数学教师！！！