我们怎么解方程之二——两个天才年轻人的伟大创造
自从1813年，著名外科大夫兼非职业数学家鲁菲尼在最后一次向英国皇家学会提交之后，其实很多人都已经相信了一般的五次方程时没有根式解的猜想。但这块石头仍然没有落地，人们还在等待着这悬了几百年的著名难题何时真正能解决。其实没过多久，就有人挺身而出，挪威数学家，尼尔斯·亨利克·阿贝尔。
挪威数学家 阿贝尔
1802年，阿贝尔出生在牧师家庭，那个时候的挪威，做牧师没什么钱的，所以，从小阿贝尔的生活条件还是比较糟糕的，好不容易，阿贝尔挨到了应该去上学的年纪。1815年，阿贝尔终于有机会在一所天主教的学校读书。然而有的人只要让他接触到了适合的领域，他的天才仿佛就是与生俱来的，好像他生活的本能一样。很快，阿贝尔的数学天赋就开始显现，他的老师霍尔姆伯的指引之下，他很快就掌握了远超他年纪应该有的数学知识，他如饥似渴地去学习了牛顿、欧拉、拉格朗日及高斯等大师们的杰作。今天的我们很清楚，这些大师们的数学创造是在什么层次上，别说一个十几岁的孩童，就是数学专业的研究生啃起来恐怕也都颇为艰深。而十几岁的阿贝尔不仅仅了解他们的理论，而且已经有能力找出他们一些微小的漏洞。这个事例意味着什么呢？大概就相当于今天某个小学生给人民教育出版社的教材指出纰漏差不多。
1820年，阿贝尔父亲去世了，一家人的生活重担全部在阿贝尔一个人身上。辛亏有好友霍姆彪的资助，阿贝尔得以顺利考入大学，并在1年之后就拿到了学位。在学校的时间里，阿贝尔自学了大量数学知识，深厚的数学天才在那一两年里得到了充分的发挥。
一般五次方程没有根式解
1824年，阿贝尔发表了第一篇论文《一元五次方程没有代数一般解》，初生牛犊的年轻人第一篇论文就是要解决困扰数学界几百年的重大问题，这个还是很唬人的。鉴于当时他所处的环境数学水平实在不高，几乎没人可以看懂这篇划时代的论文，于是他想起来了19世纪的数学超一流大师——高斯，同时，迫于生活的无奈，阿贝尔也想通过高斯对自己的认可，让自己再数学界占有一席之地。
曾经的世界数学之都 德国哥廷根大学
然而统领格廷根大学的高斯却错过了这篇文章，于是阿贝尔另谋出路，好在当时的欧洲基本上每个国家大学建制都还是比较完善的，只要你有才华， 哪里都可以谋生。1826年，阿贝尔来到柏林，在好友克列尔创办的期刊《纯数学和应用数学》上第一次发表了公开发表了这篇论文。同时，阿贝尔也指出了前辈鲁菲尼论文中的一些大的缺陷。阿贝尔不只在方程领域做出研究，在椭圆函数，泛函分析，理论力学方面都有着很深的研究。然而，阿贝尔的命运注定悲惨，1826年秋天，他得了类似重感冒的病症，这个病症后期演化成了肺结核，在当时几乎就是绝症。然而此时学术界才开始意识到了阿贝尔工作的伟大意义，人们开始为了阿贝尔谋求一份待遇丰厚的工作。四名法国科学院院士上书给挪威国王，请他为阿贝尔提供合适的科学研究位置。真是天妒英才，1829年4月6日，阿贝尔去世了，时年27岁，然而2天后，传来了柏林大学聘请阿贝尔当教授的消息。
为了纪念阿贝尔，2002年，挪威政府设立了阿贝尔奖，这个奖是世界三大数学奖之一。奖金约80万美元，足以媲美诺贝尔奖。
数学界的“诺贝尔奖” 阿贝尔奖
读到这里，我仿佛在看另外一个人的生平，没错，就是印度超级天才拉马努金，这两个人的经历有多相似呢？
- 他们都是出身贫寒，这一点好像很通用；
- 他们都很小就体现过人的数学天赋，并且痴迷于此，他们自学能力极强，基本上都是 无师自通；
- 他们都怀才不遇，拉马努金要稍微好一点点，起码他生前遇到了伯乐哈代，哈代为拉马努金争取到了一个优秀数学家应该的所有荣誉，而阿贝尔生前没有获得任何官方的认可，死后才声名远播；
- 他们都对椭圆函数有着极深的研究，阿贝尔和雅可比是椭圆函数论的奠基人，而拉马努金恐怕算得上是最懂椭圆函数的。大家都知道拉马努金那本载入史册的数学笔记，这上面有3900多个让人看着匪夷所思的计算公式。拉马努金没有向别人说明他是怎么得到的，后来有人研究过，很多看起来玄妙无比的等式，背后都是椭圆函数的深刻体现；
- 还有他们都是得了肺结核，不论是19世纪初的欧洲，还是20世纪初的印度，这种病都很难治愈。最后，他们都是被上帝嫉妒了的人才。阿贝尔27岁，拉马努金32岁。
印度数学天才 拉马努金
阿贝尔当年在五次方程上的研究其实已经迈出了最重要的第一步，他证明了一般五次方程没有根式解，但是五次以上方程呢？阿贝尔却没有给出更进一步的工作。这最后的巅峰之作，是来自另外一位天才——伽罗瓦。
少年时期伽罗瓦
埃瓦里斯特·伽罗瓦，1811年10月25日生，法国数学家。伽罗瓦的出身相比于阿贝尔来说好得不是一点半点，他的老爸是市长，妥妥的官二代。伽罗瓦小时候只能算是聪明，没有发现特别出众的天赋，于是，他在16岁之后就跟我们爸妈眼里隔壁家的好孩子一样，成绩优秀，行为乖巧等等。16岁之后，他终于像是看到了宝藏一样，他在老师维尼尔的指导下学习数学。这是一个天才般的操作，伽罗瓦的才能如同井喷一样的爆发了，他只管数学，别的科目毫无兴趣，我怎么又看到一点拉马努金的影子了。。。
1827年，伽罗瓦同学雄心壮志，准备上理想的大学，综合工科学校。那个时候上大学绝对不像是今天几张卷子就可以了，当时的欧洲考大学，你就必须要在主考官面前，表现出你自己有读大学的那个能力，如果你不能正确地在主考官面前展示，就跟找工作面试失败一样。伽罗瓦此时年轻气盛，或许还有点恃才放旷，很容易地就没有入主考官的法眼，于是，他毫无意外地失败了。不过也没事啊，伽罗瓦才16岁啊，年轻就是本钱，以后再来就是了。
巴黎高等师范学院
1829年，伽罗瓦18岁，此时伽罗瓦在解方程方面的研究已经神功初成，他决定不再按部就班地上大学，发表论文，再做职业数学家，他把解方程的论文寄给了柯西。大家很熟悉这个名字吧，虽然他可以称得上是数学大师，但是他连续错过了鲁菲尼，阿贝尔，伽罗瓦关于五次方程没有根式解的论文。这一点，我觉得不能再简单地认为是巧合了，后来的事实也证明，柯西的品格配不上他的才华。柯西这次还没来得及审阅，就把伽罗瓦的论文包括摘要都弄丢了，这就意味着，甚至都没人知道伽罗瓦寄给了柯西论文，更不知道伽罗瓦寄了什么内容给柯西。于是，再一次毫无意外，伽罗瓦失败了。
柯西
前面说到，伽罗瓦的出身很不错，老爸是市长，他在各个方面都深深地受到父亲的影响，包括那种狂热的政治倾向。伽罗瓦第二次要报考综合工科大学时，他的父亲因为不能忍受竞争对手的恶意中伤而自杀，这让伽罗瓦原本不安分的政治之心更加蠢蠢欲动。终于伽罗瓦还是进入高等师范学院读大学，别看这所学校叫什么师范学院，但是这所学校在当今数学界却是相当牛逼的存在，这所学校也牢牢撑起了法国是一个数学大国的地位。在这里读书期间，伽罗瓦的霉运又一次来临，他把之前所有的解方程之类的研究成果交给了傅里叶，但是傅里叶不久还是去世了，本来终于可以扬名立万的机会又一次这样错过了。这接二连三的打击，让伽罗瓦这个年轻人的心智彻底倾斜了。从此他热心于政治运动中，并且很快的，不出意外就抓入狱。
伽罗瓦痴迷的政治运动
1831年5月，伽罗瓦被抓蹲大狱。伽罗瓦真是人生跌进了低谷，和外面的世界隔离了，他放心不下的除了政治，当然还有自己的数学。在大狱，这个相对于安稳的环境下， 伽罗瓦进一步完善了自己的理论，在这里群论已经开始从萌芽到逐渐长大了。如果伽罗瓦能够在这里好好研究数学，说不定，他在政治运动中的热心会消退大半。但是命运仿佛又在捉弄他，1832年3月，情窦初开的伽罗瓦在狱中认识了一位医生的女儿，并且爱得死去活来。本来这应该是个很美好的结局，伽罗瓦放下政治上的戾气，出狱之后成为了过上幸福生活的数学家。但是坏在伽罗瓦有个情敌，还是个用枪高手。这二人为了争这位女子，约定单挑决斗。其实伽罗瓦知道自己去决斗根本就是送死，在决斗的前几夜，他费尽心力把自己的毕生所学都写下来，汇集在一本60页的小册子上。多亏了这几个晚上的劳动，才让数学界保住了一笔伟大的财富。
有幸存留下来的伽罗瓦临终手稿
第二天，伽罗瓦走上在荒郊野外的决斗场，意料之中，他中弹，而且长时间得不到救治，于是，21岁，年轻而伟大的伽罗瓦也这样没了生命。
伽罗瓦最重要的就是创立了群论，他是第一个提出群这个概念的人。伽罗瓦理论是数学上唯一一个以发现者命名的数学理论，足见，伽罗瓦在数学上的地位。没有人否定，年仅21岁，真正开始做数学才5年的伽罗瓦是19世纪乃至有史以来最伟大的数学家之一。
魔方的转置完美地对应了置换群的概念
伽罗瓦其实不知道前辈阿贝尔的工作，虽然他们的工作很类似，甚至论文里提到很多思想都是惊人的一致。伽罗瓦看穿了解方程这个问题的本质在哪儿，他不但证明了一般五次及以上方程没有根式解以外，也给出了判定一个方程有无根式解的依据。同时他利用了群论这个伟大的工具，证明了高斯关于费马数边形的尺规作图的条件，也完美地解决了，不可任意三等分角，不能化圆为方，这两个著名的尺规作图难题。
流传两千年的尺规作图难题
有人说，阿贝尔死于贫困，而伽罗瓦死于愚蠢。这是天性使然，还是宿命难为，今天的我们都是没法去评判了。人们只记得，这两位伟大的年轻人，他们不世出的才华，以及不朽的成绩。解方程只是困扰着人们两百多年的一个难题而已，难题很多，他们奠基的群论是解决这个问题最有力的工具。同时，这个最有利的工具绝不仅仅只是可以用在判断解方程这方面。今天的粒子物理学，量子物理学，化学，结构学，以及生物学等等，没有哪一门不存在群论的影子。对称性是整个宇宙所有对象最基本的性质，大到恒星演化，小到粒子衰变。而群论是描述对称性最直观有效的工具，因为这一伟大发现和创造，阿贝尔，伽罗瓦如此年轻的生命永远长存！