初中数学-培优：几何变换（平移、对称、旋转）
几何变换
【阅读与思考】
【例题与求解】
【解析】
根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接AB，根据两点之间线段最短得到最小值线段，再构造直角三角形，利用勾股定理求出MN的值即可.
【点评】
此题考查了轴对称最短路径问题，根据题意构造出对称点，转化为直角三角形的问题是解题的关键.
【解析】
在CD上取一点E使DE=BD，连接AE；由线段垂直平分线的性质可以得出AB=AE；根据三角形外角性质，以及∠B=2∠C，可以得到∠EAC=∠C，从而证明AE=EC，等量代换即可得到最终的结果.
【考点】
本题主要考查了等腰三角形的性质和线段的垂直平分线的性质.
【解析】
(1)将△CBN绕点C顺时针旋转90°至△CAF位置，证明△FCM≌△NCM，将所求线段转化到Rt△FAM中，由勾股定理可得结论；
(2)将△CBN绕点C顺时针旋转90°至△CAH位置，证明△HCM≌△NCM，将所求线段转化到Rt△HAM中，由勾股定理可得结论.
【点评】
本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理.正确作出辅助线，把所求线段转化到一个直角三角形中是解题的关键.
【能力训练】
【解析】
根据题意，画出图形，由平移的性质求得结果.
【点评】
本题考查平移的基本性质.经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.注意结合图形解题的思想.
【解析】
利用旋转的性质解题.将△PBC绕点B逆时针旋转60°得△DAB，根据旋转的性质可证△DBP为等边三角形，由勾股定理的逆定理可证△ADP是直角三角形，从而可求∠APB的度数.
【点评】
本题利用了旋转的性质解题.关键是根据AB=BC，∠ABC=60°，得出等边三角形，运用勾股定理逆定理得出直角三角形.
【解析】
将△ABD绕着点A逆时针旋转90°，得△AFQ，延长FQ，BC，交于点E，连接CQ，判定△BAC≌△QAC(SAS)，得到BC=CQ=BD+CD=5，再设AD=x，在Rt△CQE中，运用勾股定理列出关于x的方程，求得x的值，最后根据△ABC的面积=0.5xBCxAD，进行计算即可.
【点评】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.
【点评】
本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了勾股定理的逆定理和正方形的性质.
【点评】
此题主要考查了利用轴对称最短路线以及勾股定理等知识，正确构造直角三角形是解题关键.
【解析】
根据题意画出图形，作辅助线延长BA到D使AD=AC，连接DC，易证明△ADC是等边三角形，△CEP也是等边三角形，由此可得.
【点评】
此题主要考查了等边三角形的判断与性质，难度适中，关键是根据题意巧妙地作出辅助线.
【解析】
1.仔细分析题目，认真观察所给图形，可知此题需要借助辅助线进行解题，你能恰当地构造出辅助线吗?
2.过E作EQ//FG，过G作GP//KH，过K作KR//DE， 则可得到△PQR，结合已知可得△PQR是等边三角形；根据等边三角形的性质可得∠PRQ=∠PQR=∠RPQ=60°，再结合平行的性质问题也就不难解决了，试试吧!
【点评】
本题考查当三角形的周长最短时，未知数的值的求法，考查当四边形ABDC的周长最短时，未知数的值的求法，考查使四边形ABMN周长最短时，未知数的值的是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称知识的合理运用.
解法一：
解法二：
【解析】
过D作PN的平行线分别交FQ、BC于点K、L.可以证明.△FKD≌DLC，可以证得FQ=FK+KQ=DL+DN，与EP=DL+AN然后根据中垂线的性质即可求证.
【点评】
本题主要考查了中垂线的性质，以及全等三角形的判定，正确证明三角形全等是解题的关键.
【点评】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质的应用，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题.
解法一：
解法二：
【解析】
将△ABD绕着点A逆时针旋转90°，得△AFQ，延长FQ，BC，交于点E，连接CQ，判定△BAC≌△QAC(SAS)，得到BC=CQ=BD+CD=5，再设AD=x，在Rt△CQE中，运用勾股定理列出关于x的方程，求得x的值，最后根据△ABC的面积=1/2xBCxAD，进行计算即可
【点评】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.