中考数学压轴题分析：正方形中的动点对称问题
正方形、等边三角形都是中考的常客。
本文内容选自2020年泰州中考数学倒数第二题。
题目中包含了正方形与等边三角形，同时还涉及线段和的定值问题，以及轴对称有关的问题。
题目比较经典，值得学习。
【中考真题】
（2020·泰州）如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G，点P、Q分别在线段EF、BC上运动，且满足∠PMQ＝60°，连接PQ．
（1）求证：△MEP≌△MBQ．
（2）当点Q在线段GC上时，试判断PF+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．
（3）设∠QMB＝α，点B关于QM的对称点为B'，若点B'落在△MPQ的内部，试写出α的范围，并说明理由．
【分析】
题（1）证明全等比较简单，只需找出边与角的等量关系即可。
题（2）判断线段和的值是否发生变化，一般猜想不会变化。求值则可以考虑用特殊点进行求解。选起点与终点，判断出结论之后再考虑证明。
观察上图，可以发现GF与BG的长度是定值，利用勾股定理可以求得。然后就可以把QG转化到PE上，易得PF+GQ为定值，大小为GF与2BG的差。
题（3）要使得点B关于MQ的对称点B′落在△MPQ的内部，则需要令∠QMB不超过60°。
另一方面P、Q两点都是在线段上面运动，所以点Q不能超过G与C，点P也不能超出E与F。则点Q最左只能与G重合。
经过分析，基本确定了图形，然后再求出度数即可。
【答案】证明：（1）∵正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，AM＝BM＝3，
∵△MBE是等边三角形，
∴MB＝ME＝BE，∠BME＝∠PMQ＝60°，
∴∠BMQ＝∠PME，
又∵∠ABC＝∠MEP＝90°，
∴△MBQ≌△MEP（ASA）；
（2）PF+GQ的值不变，
理由如下：如图1，连接MG，过点F作FH⊥BC于H，
∵ME＝MB，MG＝MG，
∴Rt△MBG≌Rt△MEG（HL），
∴BG＝GE，∠BMG＝∠EMG＝30°，∠BGM＝∠EGM，
∴MBBG＝3，∠BGM＝∠EGM＝60°，
∴GE，∠FGH＝60°，
∵FH⊥BC，∠C＝∠D＝90°，
∴四边形DCHF是矩形，
∴FH＝CD＝6，
∵sin∠FGH，
∴FG＝4，
∵△MBQ≌△MEP，
∴BQ＝PE，
∴PE＝BQ＝BG+GQ，
∵FG＝EG+PE+FP＝EG+BG+GQ+PF＝2GQ+PF，
∴GQ+PF＝2；
（3）如图2，当点B'落在PQ上时，
∵△MBQ≌△MEP，
∴MQ＝MP，
∵∠QMP＝60°，
∴△MPQ是等边三角形，
当点B'落在PQ上时，点B关于QM的对称点为B'，
∴△MBQ≌△MB'Q，
∴∠MBQ＝∠MB'Q＝90°，
∴∠QME＝30，
∴点B'与点E重合，点Q与点G重合，
∴∠QMB＝∠QMB'＝α＝30°，
如图3，当点B'落在MP上时，
同理可求：∠QMB＝∠QMB'＝α＝60°，
∴当30°＜α＜60°时，点B'落在△MPQ的内部．
中考数学压轴题推荐搜索