解题研究｜名师之作：几何最值问题大一统 / 四六文摘

内容特色

突破繁复的知识和题海，从思维发展的角度研究学和教的根本原则和最佳途径，促进知识和思维的整体发展自然生长。

网上解题类文章很多，但读者看后往往只知其然，不知其所以然，更难知其何以所以然。本公众号解题文章力求探明知识与问题的内在本质与相互联系，并尽量借助图形使思维视觉化，以求照亮隐蔽的思维黑洞，使之明晰呈现于眼前，唤起学生的逻辑思考和直觉感悟。

追本溯源化繁为简

目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。纲举则目张，执本而末从。如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。

关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。

一、基本图形

余不赘述，下面仅举一例证明：

[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。

已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。

证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO PO，AO≤AP PO，得d-r≤AP≤d r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。

上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。

二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。

类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。

（一）直接包含基本图形。

例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。

简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。

（二）动点路径待确定。

例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。

简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。

例3.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A'B'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△A'B'C绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F'，求线段EF'长度的最大值与最小值的差。

简析：E是定点，F'是动点，要确定F'点的运动路径。先确定线段A'B'的运动轨迹是圆环，外圆半径为BC，内圆半径为AB边上的高，F'是A'B'上任意一点，因此F'的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点E到圆环的最短和最长路径。

E到圆环的最短距离为EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，E到圆环的最长距离为EF1=EC CF1=3 6=9，其差为7.2。

（三）动线（定点）位置需变换。

线段变换的方法：（1）等值变换：翻折、平移；（2）比例变换：三角、相似。

【a翻折变换类】典型问题：“将军饮马”。

例4.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长最小值为。

简析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段PM、MN、PN在OA、OB的内侧。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径。如图，把点P分别沿OA、OB翻折得P1、P2，△PMN的周长转化为P1M MN P2N，这三条线段的和正是连接两个定点P1、P2之间的路径，从而转化为求P1、P2两点之间最短路径，得△PMN的周长最小值为线段P1P2＝OP＝6。

例5.如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM MN的最小值是。

简析：本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧，同样把点N沿AD翻折至AC上，BM MN＝BM MN'，转化为求点B到直线AC的最短路径，即BN'⊥AC时，最小值为2√2。

【b平移变换类】典型问题：“造桥选址”。

例6.如图，m、n是小河两岸，河宽20米，A、B是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使A、B之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？

简析：桥长为定值，可以想像把河岸m向下平移与n重合，同时把点A向下平移河宽，此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短，即转化为定点A'到定点B的最短路径。如下图：

思路是把动线AM平移至A'M，A'N BN即转化为求定点A'与定点B之间的最路径。本题的关键是定长线段MN把动线段分隔，此时须通过平移把动线段A'N、BN变为连续路径，也可以把点B向上平移20米与点A连接。

例7.如图，CD是直线y=x上的一条定长的动线段，且CD=2，点A（4，0），连接AC、AD，设C点横坐标为m，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值。

解析：两条动线段AC、AD居于动点所在直线的两侧，不符合基本图形中定形（点线圆）应在动点轨迹的两侧。首先把AC沿直线CD翻折至另一侧，如下图：

现在把周长转化为A'C CD AD，还需解决一个问题：动线段A'C与AD之间被定长线段CD阻断，动线段必须转化成连续的路径。同上题的道理，把A'C沿CD方向平移CD的长度即可，如下图。

现在已经转化为A''D AD的最短路径问题，属定点到定点，当A''D与AD共线时A''D AD最短，即为线段AA''的长。

【c三角变换类】典型问题：“胡不归”。

例8.如图，A地在公路BC旁的沙漠里，A到BC的距离AH＝2√3，AB＝2√19，在公路BC上行进的速度是在沙漠里行驶速度的2倍。某人在B地工作，A地家中父亲病危，他急着沿直线BA赶路，谁知最终没能见到父亲最后一面，其父离世之时思念儿子，连连问：“胡不归，胡不归……！”（怎么还不回来），这真是一个悲伤的故事，也是因为不懂数学而导致的。那么，从B至A怎样行进才能最快到达？

简析：BP段行驶速度是AP段的2倍，要求时间最短即求BP/2 AP最小，从而考虑BP/2如何转化，可以构造含30°角利用三角函数关系把BP/2转化为另一条线段。如下图，作∠CBD=30°，PQ⊥BD，得PQ=1/2BP，由“垂线段最短”知当A、P、Q共线时AP PQ＝AQ'最小。

【d相似变换类】典型问题：“阿氏圆”。

“阿氏圆”：知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆，如下图所示，其中PO：BO＝AO：PO＝PA：PB＝k。

例9.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求 1/2AM CM 的最小值。

简析：本题的主要问题在于如何转化1/2AM，注意到由条件知在M的运动过程中，EM：AE＝1：2保持不变，从而想到构造相似三角形，使之与△AEM的相似比为1：2，这样便可实现1/2AM的转化，如下图取EN：EM＝1：2，即可得△EMN∽△EAM，再得MN=1/2AM，显然，MN CM的最小值就是定点N、C之间的最短路径。