[离散时间信号处理学习笔记] 13. 重采样
重采样常用于音频处理。在用麦克风对音频进行采集的时候，常见的采样率有8k（电话）、44.1k（CD）、48k（视频音轨）、96k/192k（Hi-Res），而某些系统会有默认固定的输出采样率（如Android的默认输出采样率为44.1k），此时就需要对输入音频数据进行重采样。
重采样的源样本序列为x[n]
x[n]=xc(nT)
重采样的目标序列为x′[n]
x′[n]=xc(nT′)
如何通过x[n]得到x′[n]就是本文的讨论内容。
本文假设以采样周期为T对xc(t)进行采样满足奈奎斯特采样定律。
减采样（downsampling）
减小采样率的过程被称为减采样，这一小节讨论的是按整数倍减小采样率。
按照我们一般的思维来说，按整数倍（倍数为M）减少采样率应该是直接对源样本序列每隔M个样本提取一个值
xd[n]=x[nM]=xc(nMT)
这种提取方法被称为采样率压缩器，简称压缩器（compressor）。可以看到所得的新序列是原始连续信号的一部分，并且新序列的采样周期为Td=MT。对于该新序列，我们可以分为两种情况进行讨论：
Td符合奈奎斯特采样定理，即新序列能通过一个低通滤波器还原为原始的连续信号
Td不符合奈奎斯特采样定理，即新序列发生混叠，无法还原为原始的连续信号
如下图假设信号在M=2时恰好满足奈奎斯特采样定理，那么在M=3时则会发生混叠
如果在采用了压缩率为M的压缩器后，离散时间信号处理序列仍然符合奈奎斯特采样定理，我们可以直接进行使用xd[n]=x[Mn]来得到减采样序列。而发生混叠的情况则稍微复杂一点。观察混叠的频谱，可以发现只有低频部分保持了与原始信号频谱的一致性，而相当多的高频由于混叠而失去了原始频谱。
频谱丢失得越多说明信号的失真越大，因此为了减少失真，需要尽可能保留更多的原始信号频谱。我们可以先对元素信号进行低通滤波，然后再对滤波后的信号进行周期为MT的采样即可得到失真更少的序列。按照这种思想，采样周期固定为MT，如果一个被采样信号的采样周期为MT，那么采样后不会混叠的条件就是该信号的截至频率为πMT，因此低通滤波的截至频率为πMT。
很明显，先低通滤波后采样的这种方法能最大限度地减低频谱的丢失，从而降低信号失真。
X~d(jΩ)=Xc(jΩ)HM(jΩ)
其中X~d(jΩ)就是对原始信号进行低通滤波后的信号x~d(t)的傅里叶变换，低通滤波器的傅里叶变换为HM(jΩ)。不过我们手中的并不是原始信号xc(t)，而是序列x[n]，为了进入上述流程，我们需要先用x[n]重构出xc(t)，才能进行低通滤波以及后续采集
x~d(t)=F−1X~d(jΩ)=F−1{Xc(jΩ)HM(jΩ)}=F−1{X(ejΩT)Hr(jΩ)HM(jΩ)}=F−1{X(ejΩT)THM(jΩ)}⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Hr(jΩ)HM(jΩ)={T,0,|Ω|<π/Telse={1,0,|Ω|<π/MTelse=F−1{Xs(jΩ)THM(jΩ)}=xs(t)∗[MT⋅hm(t)]/Mfourier convolution theorem={∑n=−∞∞x[n]δ(t−nT)}∗{sin(πt/MT)πt/MT}/M=∑n=−∞∞x[n]sin[π(t−nT)/MT]π(t−nT)/MT/M
然后从x~d(t)中以MT为周期采集得到x~d[n]
x~d[n]=x~d(nMT)=∑k=−∞∞x[k]sin[π(t−kT)/MT]π(t−kT)/MT/M∣∣∣∣t=nMT=∑k=−∞∞x[k]sin[π(nMT−kT)/MT]π(nMT−kT)/MT/M=∑k=−∞∞x[k]sin[π(nM−k)/M]π(nM−k)/M/M
如果要从连续时间系统来理解的话，我们可以发现重建的连续信号x~d(t)是由无数个x[k]分别对相应位置的截至频率为π/MT的sinc函数进行加权后叠加，然后对叠加得到的信号的幅度除以M得到的。
如果要从离散时间系统来理解x~d[n]的构造公式的话，可以发现上面公式中的sinc函数有如下规律（下二）
H(ejω)={M,0,|ω|<π/MelseH(ejω)={1,0,|ω|<π/Melse⇔⇔h[n]=sin[πn/M]πn/Mh[n]=sin[πn/M]πn/M/M
可以发现该sinc函数是一个增益为1、截至频率为π/M的低通滤波器，该滤波器后接因子为M的压缩器。那么，前面的公式可以理解为：用该滤波器对x[k]进行滤波后再用因子为M的压缩器即可得到x~d[n]。这一过程又被称为抽取（decimation）。
增采样（upsampling）
增加采样率的过程被称为增采样，这一小节讨论的是按整数倍增加采样率。
假设增加采样率的倍数为L，那么增加采样率后的采样周期为Ti=LT，有
xi[n]=xc(nTi)=xc(nLT)
不过实际上我们只有采样周期为T的序列x[n]，因此需要先进行xc(t)的重建，然后对xc(t)进行周期为Ti的采样
xi[n]=xc(nT/L)=∑k=−∞∞x[k]sin[π(t−kT)/T]π(t−kT)/T∣∣∣∣t=nT/L=∑k=−∞∞x[k]sin[π(nT/L−kT)/T]π(nT/L−kT)/T=∑k=−∞∞x[k]sin[π(n−kL)/L]π(n−kL)/L
下面我们从频域来展开讨论
增采样即采样频率提高了，因此不会出现混叠的情况，即不会改变原始的连续时间信号。现假设用采样周期T对xc(t)进行采样恰好满足奈奎斯特采样定理，即有
增采样后采样周期为Ti=T/L，那么频谱将有如下变化
观察两张图右下角的X(ejω)以及Xi(ejω)，它们的时域表示分别就是我们的源序列x[n]与目标序列xi[n]。从X(ejω)变为Xi(ejω)只需进行执行两个步骤：
对X(ejω)的变量ω进行倍数为L的扩展，得到Xe(ejω)=X(ejωL)
对所得的新频谱进行低通滤波，滤波器的增益为L，截至频率为πL
对第一步有如下分析：
X(ejω)⇒X(ejωL)⇒xe[n]=∑n=−∞∞x[n]e−jωn=∑k=−∞∞x[k]e−jωLk=∑n/L=−∞∞x[n/L]e−jωnn=Lk={x[n/L],0,n=0,±L,±2L⋅⋅⋅else
如下图所示，对序列x[n]进行步长为L的扩展，即可得到xe[n]，这种转换称为扩展器（expander）
第二步的低通滤波器的增益为L、截至频率为π/L，即其脉冲响应为（从前面的增采样公式同样也能得出该结论）
hi[n]=sin(πn/L)πn/L
因此增采样系统分解如下图，这一过程又被称为内插（interpolation）。
简单的内插滤波采样
在对序列进行内插时，某些情况下，我们并不用追求很准确的信号还原，此时用一些简单的滤波器即可达到不错的效果，如常见的线性内插、三次样条内插等。
hlin[n]={1−|n|/L,0,|n|⩽Lelsehcu[n]=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪(a+2)|n/L|3−(a+3)|n/L|2+1,a|n/L|3−5a|n/L|2+8a|n/L|−4a,0,0⩽|n|⩽LL⩽|n|⩽2Lelse
线性内插只用到内插的位置两旁的两个样本，在图上表示的话，就是把两个样本用直线连接后，该直线在对应内插位置上的的值就是所求的内插值。
三次样条内插会用到内插位置两旁的四个样本，即左右各两个，曲线类似于对低通滤波器进行截取后的曲线（下面取L=5,a=−0.5）。
观察上面两个脉冲响应，我们能发现这些简单内插器脉冲响应的一些规律：
零点的左右两边对称，h~[n]=h~[−n]
长度为2KL−1，K=1,2,⋅⋅⋅，也就是说左右两边距离零点超过KL时的值为0，即h~[n]=0,|n|⩾KL·
零点处的值为1，h[0]=1
KL处的值为0，h[KL]=0
既然有这些简单但不够准确的内插器，那么就应该有相应的方法来判断这些内插器的内插效果。内插效果可以通过观察这些内插器的频谱来进行分析。
对比增采样所需要的低通滤波器跟简单的线性内插器频谱，可以发现在频谱的ω<πL处本应做大小固定为L的增益，但是线性内插在这部分有衰减，另外在ω>πL处本应该是对原始序列频谱进行截断，但是由于线性内插器的频谱在ω>πL仍然有较大的能量（幅度较高），因此可见线性内插可能不会获得很令人满意的内插效果。不过如果原本的采样频率就远大于原始信号的截至频率，则表明采样所得的序列的频谱较为集中，此时采用线性内插则会得到较好的效果。
对比线性内插以及三次样条内插，可以发现在ω<πL处，三次样条的旁瓣较宽，而在ω>πL处，三次样条的能量更小（幅度更低）,即三次样条更接近于低通滤波器，因此三次样条内插会比线性内插的效果更好。
图中蓝色实线为线性内插频谱，红色虚线为三次样条内插频谱。为了更突出两者的频谱差异，右图对频谱的幅度进行了对数运算。
非整数因子重采样
我们前面讨论了减采样以及增采样，它们的系统分别被称为抽取器与内插器。对于非整数因子，我们可以通过先接一个内插器，后接一个抽取器这种级联的方式来得到该重采样系统。例如，若L=100,M=101，则重采样的周期为1.01T
由于中间两个都是低通滤波器，因此可以合并成一个低通滤波器，取其中的最小值min(π/L,π/M)作为截至频率，增益为L。
