一道初中几何计算题的多种解法
对一道几何计算题的解法探究
湖南省益阳市牌口学校 罗小明
题目：如图，矩形ABCD的边长AB=2，AD=4，点E，F分别在线段BC和射线DC上.若BE=0.5，∠EAF=45°，求AF的长.
方法一：“构造”“旋转”均管用，勾股定理显神通.先应用“构造法”或“旋转法”得到全等形，再运用方程思想，主要是两次利用勾股定理列方程来求解.
解：如图1,以AD为边作正方形AHQD，
延长AE交HQ于点G，连接GF.
延长QH至P使HP=DF，连接AP.
易知BE为△AHG的中位线，
而BE=0.5，所以HG=1，GQ=3.
易证△APH≌△AFD，所以AP=AF，∠PAH=∠FAD.
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠BAE+∠PAH=45°，即∠PAG=∠FAG=45°，
又AG=AG，∴△PAG≌△FAG，∴PG=FG=PH+HG.
设FQ=x，则DF=4−x，GF=5−x.
在Rt△GFQ中，由勾股定理求得，则DF=2.4.
在Rt△ADF中，由勾股定理求得AF=4/(5√34).
【注意】辅助线也可以这样添加（旋转法）:将△ADF绕点A顺时针方向旋转90°至△AHP，然后延长PH和DF相交于点Q，延长AE交HQ于点G，连接FG.
方法二：巧构特殊三角形，凑出相似列方程.两次应用“构造法”得到特殊三角形，自然凑出一对相似三角形，接着利用相似比来建立方程求解.
【注意】此解法主要由已知角∠EAF=45°联想到构造两个等腰直角三角形，从而非常巧妙地构造出了一对相似三角形，技巧性比较强，需要平时解题积累经验，方可灵活运用到实际解题之中.
方法三：A型Z型一起上，运算能力派送场.利用常见的“A型”与“Z型”（或叫8字型）两种相似三角形来建立比例方程组求解.
【注意】此解法的辅助线添加比较少，应用的解题方法也比较常见和简单，但需要有比较强的运算能力，不失为训练学生基本运算能力的一道好题.
方法四：建立直角坐标系，解析方法快捷达.注意到已知图形是矩形，便于建立平面直角坐标系，相关点能够用坐标表示出来，利用高中数学知识“正切的差角与直线斜率关系公式”可以求得直线AF的斜率，从而求得直线AF的解析式，再求得点F坐标，最后用两点间距离公式求得AF的长.
【注意】此解法应用建立平面直角坐标系，通过解析法迅速获解，既没有辅助线的添加，也没有繁杂的计算与证明，凸显了解析法的高明之处.
本题既可以夯实初中平面几何的推理论证能力，又可以培养学生的基本运算能力，还可以培养学生的探究精神与核心素养，同时本题还可以作为高中解析几何学习的背景材料.