七下第2讲 平行线判定&性质精析(2)——挖掘中间角与基本模型

写在前面

时间飞快，开学已是第二周，不知各位同学是否已经调整好状态，全身心投入新学期的学习，本讲我们重点对平行的判定和性质运用中的稍难题作个整理．重点分2个版块，

1、学会寻找中间角；

2、认识平行线拐角模型．

首先，接上一讲《七下第1讲 平行线判定&性质精析(1)———掌握几个诀窍》例6的勘误

例6： 如图，AC平分∠BAD，∠ACB＝∠BAC，∠D＝90°，EF⊥CD，试说明BC∥EF. 分析： 由∠D＝90°，EF⊥CD，可证AD∥EF，则再证AD∥BC，利用平行的传递性即可得证． 解答： ∵AC平分∠BAD(已知) ∴∠1＝∠3(角平分线定义) ∵∠1＝∠2(已知) ∴∠2＝∠3(等量代换) ∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行) ∵EF⊥CD(已知) ∴∠4＝90°＝∠D(垂直定义) ∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行) ∴BC∥EF(平行于同一直线的两直线平行)

1、学会寻找中间角

平行线的许多证明题，需要在判定定理与性质中不断切换。

由角等(互补)，得平行，是判定．

由平行，得角等(互补)，是性质．

而在证明时，我们时常需由结论倒推，找到其中关键的中间角．

例1： 如图，AD∥BC，∠A＝∠C，试说明AB∥DC． 分析： 要证AB∥DC，结合已知的∠A和∠C，可以借助∠CDE＝∠A，或∠ABF＝∠C来证，以∠CDE为例，它就是一个关键的中间角，不仅与∠A是同位角，与∠C也是内错角，位置特殊，非常重要． 解答： ∵AD∥BC (已知) ∴∠C＝∠CDE(两直线平行，内错角相等) 又∵∠A＝∠C (已知) ∴∠A＝∠CDE(等量代换) ∴AB∥DC(同位角相等，两直线平行)

变式： 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠C．试说明∠E＝∠F． 分析： 本题同样要关注中间角，∠1＝∠2的条件不能继续得到结论，就得找中间角．显然，找它们的对顶角，如∠1的对顶角就是∠2的同位角，接着可以证AB∥CD，而要将平行的条件与∠A＝∠C结合起来，又要再找一个中间角，结合例1，易知可找∠ABF或∠CDE． 解答： 如下图， ∵∠2＝∠3(对顶角相等) 又∵∠2＝∠1(已知) ∴∠1＝∠3(等量代换) ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行) ∴∠A＝∠4(两直线平行，同位角相等) 又∵∠A＝∠C(已知) ∴∠C＝∠4(等量代换) ∴AE∥FC(内错角相等，两直线平行) ∴∠E＝∠F(两直线平行，内错角相等)

例2： 如图所示，已知∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠3，你能判断∠ACB与∠AED的大小关系吗?说明理由． 分析： 本题同样也要找中间角，∠1＋∠2＝180°的条件不能直接用，不难发现∠1的邻补角和∠2是内错角，这就是关键的中间角，推出∠DFE与∠2相等后，可证AB∥EF，此时结合∠B＝∠3的条件，可发现，∠ADE是关键角． 解答： ∵∠1＋∠2＝180°(已知) ∠1＋∠DFE＝180°(邻补角定义) ∴∠2＝∠DFE(同角的补角相等) ∴BD∥FE(内错角相等，两直线平行) ∴∠3＝∠ADE(两直线平行，内错角相等) ∵∠3＝∠B(已知) ∴∠B＝∠ADE(等量代换) ∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行) ∴∠AED＝∠ACB (两直线平行，同位角相等)

2、认识平行线拐角模型

初中几何证明中，模型教学还是非常必要的，尤其在一些填空选择中，记住模型结论，往往事半功倍，这一讲，我们就来认识初中阶段几何上的第一个模型，平行线拐角模型．

模型1，2： 如图，AB∥CD，探究∠B，∠D与∠BED之间的关系． 分析： 显然本题不添加辅助线是无法解决的，因此，从这个模型开始，我们要接触初中阶段几何的第一种辅助线，由于∠B和∠D在被截直线内侧，我们要把∠B和∠D进行转化，可以通过内错角或同旁内角，而此时想到过点E作平行，就可以同时构造出∠B和∠D的内错角． 解答： 过点E作EF∥AB． 图1                                图2 如图1， ∴∠B＝∠1， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠2＝∠D， ∴∠B＋∠D＝∠1＋∠2， 即∠B＋∠D＝∠BED． 如图2， ∴∠B＋∠1＝180°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠2＋∠D＝180°， ∴∠B＋∠1＋∠2＋∠D＝360°， 即∠B＋∠D＋∠BED＝360°．

模型3，4： 如图，AB∥CD，探究∠B，∠D与∠BED之间的关系． 分析： 显然，图形位置虽变，但添加辅助线的方法是不变的． 解答： 过点E作EF∥AB． 图3                          图4 如图3，过点E作EF∥AB． ∴∠B＝∠BEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠D＝∠1， ∴∠BED＝∠BEF－∠1 即∠BED＝∠B－∠D 如图4，过点E作EF∥AB． ∴∠B＝∠1， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠D＝∠BEF， ∴∠BED＝∠BEF－∠1 即∠BED＝∠D－∠B

例3： 已知AB∥CD，∠1＝55°，∠C ＝100°，则∠A＝ ______° 分析： 显然，本题蕴含了模型2，求出∠1的补角，∠AEC的度数，利用模型2的结论，即可口算． 解答： 由题意得，∠AEC＝125°，∠A＋∠AEC＋∠C＝360°，∴∠A＝360°－125°－100°＝135°

例4： 如图1，已知AB∥CD，∠E＝80°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝ ______° 分析： 本题其实蕴含了2个模型，模型1和模型2，我们可以分别找出∠ABF，∠CDF与∠BFD的关系，∠E，∠ABE，∠CDE的关系，进而可以利用整体思想来解决． 解答： 作EG∥AB，FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴EG∥AB∥FH∥CD， ∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH， ∠ABE＋∠BEG＝180°，∠GED＋∠CDE＝180°， ∴∠ABE＋∠BEG＋∠GED＋∠CDE＝360° ∵∠BED＝∠BEG＋∠DEG＝80°， ∴∠ABE＋∠CDE＝280°， ∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E ∴∠ABF＋∠CDF＝140°， ∴∠BFD＝∠BFH＋∠DFH＝140°

本讲思考题

本期答案， 公布在七下第三讲，敬请期待！