每周中考题：几何证明竞赛题

如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E、F分别是BC、AD的中点，AC⊥BD，垂足为H，求证：四边形HFOE是平行四边形。

咋一看题目，很难，但是究竟难不难，还要去分析一下才能下结论。

首先来想一下，要证明OEHF是平行四边形，对边平行貌似不容易，对角线互相平分显得更扯，也就两组对边相等看着比较靠谱。

所以我们只需要证明OF=HE，FH=OE即可。

然后回过头来看题目中条件，E和F都是中点，

能想到什么呢？中线和中位线对吧？

首先中线肯定没问题，FH为Rt△AHD的斜边中线，

而HE为Rt△BHC的斜边中线，

但是对于证明来说好像没有多大帮助，

那么再来看看中位线，F、O、E都可以是中点，

而F和O如果都构成中点位置，那么就会有中位线了，

如图，连接AO并延长，交弧BC于点M，

连接DM、OB、BM；

这样一来，DM=2OF，

只要再有DM=2HE即可搞定OF=HE，

而BC=2HE，

所以我们只要证明BC=DM即可，

要证明这两个线段相等，很容易想到三角形全等，

所以接下来证明△BDM≌△DBC，

条件有公共边BD，∠BCD=∠BMD，

还缺一组角，

∠BDM+∠BDA=90°，

∠BDA+∠DAC=90°，

所以∠BDM=∠DAC，

而∠DAC=DBC，

所以∠BDM=∠DBC，

那么全等成立，

则BC=DM，

进而得到HE=OF，

而HE=BE=EC，

OA=OB，

可证△AOF≌△OBE，

所以OE=AF=HF，

那么两组对边分别相等，

所以平行四边形成立；