数学的无穷，我们的无穷
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2021 年的前几个月，不少有关数学的新闻都具有话题性——
距离 2021 年高考还有一个多月，当无数高中生还在为千军万马过独木桥而紧锣密鼓准备之时，有部分初中生却已经一只脚踏入了清华大学的校门。
早在 2020 年的最后一天，清华大学发布官方通知，将启动“丘成桐数学科学领军人才培养计划”，初三学生就可申请，有机会直接走上本硕博连读的“学霸道路”。
在大部分同学还在为一次、二次函数头疼的时候，杭州已经有会微积分的初中生报名了。
而数学在国外高校的待遇则有所反差。由于疫情带来的留学生数量锐减，英国莱斯特大学已经深陷财务危机。为了解决“冗余”，学校决定对数个院系进行大规模裁员，其中包括菲尔兹奖和阿尔贝奖得主迈克尔·阿提亚生前工作过的数学系。
莱斯特大学此举引来了大量争议：为何偏偏是这些院系？甚至是本引以为傲的数学系？是数学多余了吗？数学已经到达了人类不需要再追求的地步了？
数学之美，不仅在于它对我们日常生活的塑造，更体现在一代代数学人的接力和追求。
微积分和它的无穷之“罪”
看到“微积分”三个字先别急着皱眉头，其实我们在很早之前就和它有过交集——
相信每一位小学数学老师都曾这样提醒过刚学习除法的我们： 一定不可以作为除数，因为没有数乘以零会得出非零数。我们从此将其奉为圭臬。
可真的如此吗？
在实无穷条件下，如果一个无限接近 的数被累计无穷次，结果可以等于任何数。
微积分，便是把复杂的问题分解为无穷个小问题（微分），再将它们组合在一起（积分）。组合多少次呢？无穷次。
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美国应用数学家史蒂夫·斯托加茨的新作《微积分的力量》的英文原书名是 Infinite Powers（无穷的力量），正如这个书名所示，无穷拥有力量，但只有在被“驯化”后才能够发挥它惊人而奇妙的能量，这种“驯化”实则是一场壮丽的天才接力。在书中，斯托加茨本人成了一位优雅从容的引路者，将天才们的生命之链徐徐展开。
“我们之后的世代”
如何用素描技法画出一个圆？首先要画一个方形，再将它一步步切成多边形，边越多，看起来越像一个完美的圆。
阿基米德运用了类似的思路计算圆周率。但圆并不是由直线组成的，而是由弯曲的弧组成的。当我们用直线来代替每一段弧时，就相当于走了点儿捷径。因此，近似值肯定小于圆形路径的实际长度。但至少在理论上，通过走足够多的步数，并且每一步的步长足够短，我们就可以尽可能精确地估算出圆形路径的长度。
阿基米德从由 6 条线组成的路径开始，6 是一个非常小的步数，六边形显然也不太像一个圆，但对阿基米德来说一切才刚开始。他不断重复这一做法。从 6 步到 12 步，24 步、48 步、96 步，并以令人头痛不已的精密度算出了这些不断缩小的步长。
无论是在逻辑上还是在算术上，阿基米德计算 值的行为都堪称壮举。借助圆内接 边形和圆外接 边形，他最终证明 大于 而小于 。
阿基米德坦承，尽管他的方法“并没有真正证明”他感兴趣的结果，但他提出了自己的希望：
“在现在和未来的几个世代中，某些人会利用这种方法，找到我们尚未掌握的其他定理。”
这位无与伦比的天才在数学的无限性面前感到了自己生命的有限性，他认识到还有很多事情要做。所有数学家都有这样的感觉，我们的研究课题永无止境，就连阿基米德本人也要俯首称臣。
阿基米德之后 1800 年，伽利略和开普勒将目光望向宇宙，如果没有他们，我们或许还不知全球定位系统和航天器为何物。微积分故事中的关键时刻出现在 17 世纪中叶，曲线之谜、运动之谜和变化之谜在二维网格——费马和笛卡儿的 平面——上发生了碰撞。我们今天已经对他们创造出的坐标轴习以为常了。
到了下一代，在费马、笛卡儿、伽利略和开普勒的研究成果的基础之上，英国的牛顿和德国的莱布尼茨彻底改变了数学的进程。他们把关于运动和曲线的思想松散地拼凑在一起，创立了微积分。
思维的虚构产物
尽管微分是思维的虚构产物，但自从莱布尼茨发明微分以来，它们就以非虚构的方式深刻地影响着我们的世界、社会和生活。
没有微积分，就不会有无线通信和 GPS。同样地，GPS 卫星上的原子钟利用的是铯原子的量子力学振动，而微积分是量子力学方程及其求解方法的基础。所以，没有微积分，就不会有原子钟。
而现在微积分还没有完结，它和以前一样求知若渴。同样的，“无穷”依然是数学人不断追求的圣杯，它危险、充满挑战，但极具诱惑。
无穷=无穷？
牛顿、莱布尼茨这些名字都是在数学界如雷贯耳的，然而他们总是显得有些久远，这不禁会让我们对数学发展的印象停留在前几个世纪。然而，数学从来不只是工具，也不是技术的附庸，直到今天，数学理论的发展也承袭着阿基米德、欧几里得的创造一直前行。在《素数的阴谋》中，我们所看到的，就是当代数学家们对于经典理论的承继与超越，对前世遗留下来数学谜题的不断探索。
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公元前 4 世纪，亚里士多德提出了关于无穷的哲学，他的这一哲学被一直沿用了下来，直到 150 年前才受到了挑战。亚里士多德接受“潜无穷”——例如，数轴将永远延续——作为数学中一个完全合理的概念。但他拒绝接受“实无穷”的概念，即将无穷定义为一个实际、完整且可操作的对象。
19 世纪以前，亚里士多德的这种区分一直都能满足数学家的需要。在那之前，“数学本质上是计算性的”。但到了 19 世纪，数学从计算转向了概念理解。数学家开始发明（或发现）抽象的对象——首先便是无穷集。
一个多世纪以前，一个问题被提出：在自然数的无穷和实数的无穷之间是否存在其他无穷？这时数学中最著名也是最棘手的问题之一。芝加哥大学的马利亚里斯和耶路撒冷希伯来大学和罗格斯大学的希拉合作推动了这个问题的进展。他们证明了一个无穷（被称为 p）和另一个无穷（被称为 t）实际上是相等的，令数学家们大为惊讶。
无穷的概念是令人费解的。无穷可以有不同的大小吗？这可能是有史以来最违反直觉的数学发现。
19 世纪末，德国数学家格奥尔格·康托尔用数学的形式语言抓住了这种匹配策略的精髓。他证明，当两个集合之间可以建立一一对应时（即当每辆汽车有且只有一个司机时），它们的大小是相同的，或者说它们具有相同的基数。或许更令人惊讶的是，他证明了这种方法也适用于无穷大的集合。
确立了无穷集的大小可以通过彼此一一对应来比较后，康托尔做出了一个更大的飞跃：他证明，一些无穷集甚至比自然数集还要大。
考虑实数，即数轴上所有的点。实数有时被称为“连续统”，这个名字反映了它的连续性：一个实数和下一个实数之间没有空间。康托尔在 1873 年证明，实数（例如 0.00001、2.568023489、 等）的连续统是“不可数的”：实数与自然数不能一一对应，因为对于任意有序实数列表，总能找到一个不在列表上的实数。
实数不能与自然数一一对应：即使你建立了一个将自然数与实数进行配对的无限列表，因此他得出结论：实数集比自然数集大。于是，第二种无穷诞生了：不可数无穷。无穷在这里变成了一个非常混乱的概念，虽然根据集合论的逻辑，这种混乱是正常的。
然而，康托尔不能确定的是，是否存在一个中间大小的无穷——它介于可数的自然数和不可数的实数之间。他猜这样的无穷不存在，这一猜想现在被称为连续统假设。这个假设提出一百多年后，在数学界对于连续统假设持续不断的质疑基础上，马利亚里斯和希拉通过在模型论和集合论之间开辟一条道路，证明了 p 和 t 是相等的，即无穷=无穷。
相比牛顿、莱布尼茨，这一连串复杂而陌生名字或许会让你晕头转向，但正如译者张旭成所说，《素数的阴谋》想做的，就是为我们打开一扇门，“让你有机会欣赏到属于这个时代人类群星闪耀的时刻——这应当是每一个人的权利。在追求无限的旅程中，数学一直与人类同行。“
从阿基米德的世代，到我们之后的世代，走向无穷。