纳尼？对数居然是『作弊』神器
[遇见数学创作小组] 作者: 心如止水
心如止水，Java程序员。善于把复杂的数学知识，简洁易懂地表达出来。
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换个姿势学数学系列, 第 Meet00 篇
▌指数级增长
经济的高速增长
经常在新闻上看到这种说法，感觉就是快，但是和指数有什么关系呢？
在经济发展良好的时候，我国GDP平均涨10%左右。假设一开始的GDP是
，则第二年，就是
，第三年就是
。改革开放40周年，都这么增长的话，也就是
。
从指数增长看改革开放伟大成就
明明也就是每年增长百分之
而已嘛，100 块过了一年才变成 110 块，好像也多买不了什么东西啊。一开始的确感觉速度一般，但是看起来很小的一个数，只要是以指数形式进行增长，那么最后的结果一定是非常恐怖的。
可以对照函数图像看一下，在最初的时候就会给人“好像没有怎么增长”的错觉，因为图像非常的平缓。但是只要给短短的一段时间，整个函数图像的斜率就会疯狂的增加，以至于几乎垂直。
对于这种增长，我们俗人叫做“利滚利”或者“驴打滚”，经济学上叫做“复利效应”。
负增长
反过来，如果是负增长的话，从函数角度来看，也就是
。
是否能够进行指数爆炸性增长，关键性的因素是看底数
。这里我们可以用Geogebra做一个动图，展示一下。
从图上可以清楚的看到，如果负增长的话，那么很快这个值就逼近 0 了，经济就迅速萎缩。
数学不好的国王
还有一个经典的故事，讲的也是这个道理，
国王打算奖赏象棋的发明人。他对国王说：“请您在棋盘的第 1 个小格里，放 1 粒麦子，在第 2 个小格放 2 粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。我想要这么多麦子”。
国王觉得这要求太容易满足了，就同意了。当人们开始计数时，才发现把所有麦粒全拿来，也满足不了要求。
总数
粒，举全国之力生产 500 年也无法办到的事情。
多啦A梦中的指数增长
动画片里也会拿这个作为题材，如果你看过哆啦A梦，大概会记得里面有个道具叫“倍增液”。
用上去之后，任何东西都会像细菌那样分裂，其实这也是指数增长。
大雄把倍增液滴到了栗子馒头上，后一个没吃完，回到家一看，满屋子都是这东西了。
▌对数是啥意思
对数是一种什么运算?
对数运算就是已知底数和幂数[1]，计算指数；所以，对数和指数说的是一回事。
用幂运算表示就是这样：
，这也被称作“对数恒等式”。
可以看到，它的表示方法是
，其中的
代表的就是对数运算(或者说对数函数)，之所以用
是因为他的英文名叫做对数
。
指的是底数，在对数函数里，这是一个常数；
就是幂数，在对数函数中也叫做“真数”，是这个函数的参数。
为什么对数难理解？
对数在这里面是最特别的：从幂运算上的角度，对数函数的参数是幂运算的输出值。
刚刚谈到的幂函数和指数函数，分别是
和
，他们的参数和幂运算是一致的，所以怎么用怎么顺；而现在完全反过来了，所以怎么用怎么不顺。
对数 ― 一个让许多学生闻名丧胆的词。- 《普林斯顿微积分》
为什么 log() 是求指数的？
log 的参数是真数，这个好理解的，之所以它看着难懂，就是因为它和幂运算是反着的。
那么，log 函数的输出值到底是指数还是底数呢？
一定是指数。
因为求底数，不需要用这种特殊形式。比如，求以
为指数的
的底数，其实就是对
开方，而这个动作恰好就是幂运算本身 ：
=
。
所以用不着这么麻烦，这种特殊形式一定是给求指数准备的咯。
梳理一下乱乱的名字
名字实在是太乱了，梳理一下非常有必要。以这个代数式为例 ：
➣ 代数名称
c → 幂数&真数
a → 底数
b → 对数&指数&几次
➣ 运算名称
已知
&
求
→ a 的 b 次幂(方)
已知
&
求
→ 以 a 为底的 c 的对数
已知
&
求
→ 开 b 次方& a 的
次方(幂)
为什么对数不直接叫做指数？
这就和对数的实际应用有关了，下面马上我们就会谈到。
▌对数运算的规则
引入一个新的概念，最重要的事情就是制定兼容的运算规则。
对数运算(求指数)是幂运算的逆运算，之前我们已经谈过幂运算的规则了，那么这个也就非常简单了。
指数加法对应幂乘法，指数减法对应幂减法，指数乘法对应幂的幂，所以：
为了运算的方便，往往会使用以
为底的对数，所以
可以简写为
或者
，称为“常用对数”。
▌了不起的对数
对数是怎么来的？
其实“对数”这个概念比“指数”出来的还要早呢。
➣指数的发明有什么用处呢？
充其量就是少写一些数值，最极致的用处无非就是科学计数法了，那要少写多少
啊，真是太棒了。但对数更伟大，他的作用是把乘法运算变成加法。
➣为什么能做到这样呢？
仔细的看一下对数的运算规则，你就会懂了：化乘除为加减，化乘方开方为乘除，将高级运算降为次级运算。
最早使用这种方法来简化运算的是天文学家，因为要研究星体的运行轨道，需要进行大量的乘法计算，自从有了对数，大大提高了计算的效率。
对数用缩短计算时间在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍。 - 法国大数学家拉普拉斯
乘法和加法之间的桥梁
可以说对数是连接乘法和加法的桥梁。
如果说“幂”是倍增液，那么“对数”就是缩小灯了。
神器对数表
➣用对数来简化计算，具体是如何操作的？
具体的来说，人们是通过查对数表[2]实现的，就拿计算
来举例子吧。
根据对数的运算法则，我们可以知道：
只要得知对数
的具体值
，然后再从表中查出与他一一对应的真数 ，那么真数
也就是
的计算结果了。
➣那怎么知道L？
和
都可以在对数表中查得到，查出来之后，只要做简单的加法，
就获得了。
➣那怎么找到真数
？
还是通过对数表，知道对数之后，反过来自然就能查到，就像查字典一样。
具体操作
从查找资料来看，我国最后一本对数表是1977年出的，后来随着计算机的普及，也就没人用这个玩意儿了。
不过只用文字来描述，还是有点抽象，刚好我这里有一本对数表，那我们就实际的操作一下试试看。过一把瘾。
步骤1：查
和
的值，计算对数
对数表非常厚，一直可以查到五位数的真数，我们要计算的乘数还有三位，其实在前几页就可以找到。
果不其然啊，分别在第一页和第二页，就找到了。
➣
是什么意思呢？
这个对数表用的是“常用对数”，只有在遇到10的乘积时，对数才整数，而其它情况大多都是小数。
比如
，
，
，
。
既然整数部分一下子就看出来了，所以对数表上就没有写，写上去的六位只是小数部分，在这里称作"尾数"，前面那个整数叫"指标"。
所以我们就能够得知 155 的对数是 2.19032，264的对数是
。
那么
步骤2：通过
查到真数
，计算出结果
➣那么接下来我们该怎么查到这个对数的真数呢?
我们可以看到，其整数为 4，那么对应的
，一定是
到
之间的某个数，知道了之后，我们就开始迅速的翻这个表格，翻的过程中你会发现，表格突然有了变化。
➣怎么从六位变成了四位?
因为真数到4位后，其尾数的前两位，相同的就非常多了 ，直接把前两位写在最前面，这样后面就可以省略了 ，就如同我们刚才省略了整数部分(指标)一样。
知道这一点之后，我们就要先找到前两位
，往后飞快的翻，发现在第67页出现了
。
那么在慢慢的往后翻一下，看一看我们所需的
在哪里。
这样我们也就得到了，其真数是
。计算完毕。
用现代的计算器进行验证[3]
现在用计算器来验证下。
完全正确。
对数的名字
这样的话你就理解为什么叫做"对数"了吧，哈哈哈，本来就是一对儿一对儿来用的，想不这么叫也难呢。
▌工程师的象征
对数表的故事
第一张对数表是英国人皮纳尔搞出来的，当时他出了一本书叫做《奇妙的对数表的描述》，从那之后对数表就开始大受欢迎了，尤其是在天文学家圈里。因为，只要手里有一张对数表，就可以以极快的速度进行各种运算。
17 世纪初，开普勒用这个神器计算了火星的轨道。没有对数的帮助，他也许就永远无法发现 “开普勒定律”——行星运动三定律，开普勒定律又为牛顿的物理学发现奠定了基础。
可以说，如果没有对数的话，现代科学还会晚诞生很多年。
对数的发明犹如黑夜一道闪电划破长空，没有任何预兆。它未曾借助其他已知的智慧结晶，也未沿袭现存的数学理念，那么突然、孤立而又出乎人们意料地出现了。- 莫尔顿
对数尺传奇
对数表运算，是可以非常精确的，但是不得不翻来翻去。
在很多领域，并不需要用到这么高的精度，只需要 2 到 3 位就可以了。
所以人们发明了对数尺，两个尺子之间的滑动代表加减，这样的话连查表都不需要了，唯一需要做的就是读数。
在战场上，对数尺是炮兵们可靠的战友。
NASA用它来把人送上月球。
在上世纪70年代之前，使用对数尺是必备的技能，也是工程师的象征。
曾几何时，工程师们视数尺为传家宝，在自己儿女上大学的时候是要郑重其事地传给他们的。
对数，其实就是信息时代来临之前计算器，它的实用性和重要性不言而喻。
数学发明几乎都是为了简化运算，都是为了偷懒。令你昏昏欲睡符号，数学家和工程师们却深爱着她。在不懂的时候，却强制用就只能是东施效颦了。
对数尺远离我们已经有几十年了，如果你很想领略一下对数尺的魅力，那么可以看一下这个视频。(b站：av3686155)
▌作弊用具
现如今，对数尺以这样的方式又回到我们身边，喔~，这真是一种讽刺。
▌我读书少，你别骗我
2014年的时候有个很火的节目，叫《最强大脑》，不知道大家有没有看过。
其中有个人获得了非常多的关注，是一位智障人士，但能在很短的时间内计算或估算一些幂运算，一度被认为是一个数学天才。
我相信，如果你理解对数表的强大之处，你也就不会过于惊讶了；只要背过了对数表中的一些内容，然后再加上一些练习，快速的计算幂和对数并不是什么非常神奇的事情。他的水平比起我们正常人来，确实是高多了，但是数学天才这种说法实在是过誉了，就是在速算界里，比他水平高的人大有人在。[4]
最重要的是，速算并不等于数学。人工快速计算大数，现在已经没有什么实际应用价值了。计算机的出现，彻底把人们从繁琐的计算中解脱出来了，我们为什么还要倒退回去呢？
▌计算任意的值对数
你是不是突然觉得有点不对劲呢？对数是一种运算，说了半天，居然没说怎么算。
其实我也没有觉得有什么违和的，越高级的运算，在日常生活中用的也就越少。普通人生活中的计算，基本是加法和减法；如果你开小卖部的话，最多加上一点乘法和除法，用到幂和对数的时候几乎是没有的。
请问，有谁想知道
是多少呢？
但计算指数在科学和工程中，是常用的。
在工程师的眼中算
，就如同你计算
一样简单。
你也想有这种能力吗？^_^
▌镭的半衰期
就拿物理上计算元素半衰期来举例子吧：
镭每年蜕变
，那么镭元素半衰期是多长时间？[4]
设半衰期为
年，则：
。
求
其实就是求
的对数，不过这个对数的底是
。并没有人能够直接告诉我们这个运算的答案，那么究竟该怎么样做呢？
▌被遗忘的计算规则
探索未知事物往往要从已知中寻找线索，要掌握对数的运算规律先看一下，乘法是怎么计算出来的。
➣请问有没有人能够直接告诉我
是多少？
如果你没有学过速算技巧，那就只能乖乖的在纸上算一下：
仔细的思考一下，你会发现其本质就是把任何数之间的乘法，变成
之间的乘法。
➣为什么要变成
呢？
因为 0 到 9，我们已经计算过一次了，并且还做了一个叫做“九九乘法表”的东西，并且已经烂熟于心。
➣由此可得到什么启发呢？
乘法的运算，就是把一切都变成“乘法表”；那么，对数的计算，也就是把一切都变成“对数表”。
它们的区别仅仅在于：“乘法表”是
，而对数表是以
为底；乘法表可以直接背下来，对数表太长，我们只能查。
所以，只要把任何的对数变成
形式，那么计算也就完成了，剩下的工作就是查表和四则运算了。
▌从除法看对数
之前说函数的时候我们谈到过，之所以出现函数的这种写法，主要就是因为符号不够用了。
对数
之所以让人看了容易犯晕，很大程度上就是因为最常见的加减乘除，用的都是符号，而对数运算用的是文字。
乘法和幂对应，除法和对数对应，要从除法运算找灵感，为了易于发现规律，我们让除法也采用函数形式。
商的英文是
，那么就像对数一样，我们也取前三个字母。
现在有等式
，假设其中的
我们是不知道的，设其为
，我们需要用商函数来求。
那么
，也可以写成
，也可以读作：求以
为底的
的商。
现在为了模拟对数的情况，就假装我们并不知道
的计算技巧，我们需要把右边的式子凑成一个以
为底的商的形式，这样的话我们就可以查“商数表”来计算了。
那么，很自然的，
。
就这么简单计算已经完成了，没错就是这么简单。
同理，对数也是这样，把上面所有“商”换成“对数”，就是计算对数的方法。
▌证明换底公式
那好，现在我们就把刚刚，已经掌握的方法，用数学语言证明一下。
之前谈过，对数恒等式
，现在需要做的就是：把高高在上的这个指数
拿到地下来，表示成
的形式。
然后，我们还清楚，对数有个神奇的能力，就是“运算降级”，所以说真数的幂运算就是对数的乘法运算
。
那么，在恒等式两边都使用
函数，则
，因为对数的“运算降级”，所以
这个高高在上的指数咔嚓一下就掉地下了，变成乘法运算了。
那么就是：
，也就是
。
这也就是所谓的“换底公式”，用符号形式来表示，其实就是：
。可以说，换底公式是对数运算的基础。
▌计算镭的半衰期
现在我们已知等式，
：这是幂的形式。
对数形式是
，叫做：以
为底的
的对数。
然后就是，
。
到此为止，计算就完成了，剩下的工作就是查表了。
如果你绕不过弯儿来，那你就把
还原成符号的形式，计算完成之后再还原回来。
求
，那么
，既然是以
为底，那么就可以简写成
，故
。
其实这就是我们常见的除法运算规则，只不过换成函数形式之后，一时间绕不过弯来，时间长了是一样的。
▌两个推论
这是我从王后雄的教辅上抄的，看着是不是很吓人呐，哎呦呦，看着就头晕。
其实简单的很：
其实就是
=
其实就是
▌e的故事
经常见到的
是什么意思呢？这叫做“自然对数”，也就是以
为底的对数。
为什么单单是
能够得到如此的赞誉，配得上“自然”二字？
因为，
和数学中的很多现象有神秘的关系。
不过说简单也简单，其实
的诞生，源于“利滚利”问题的研究，之前我们刚刚说过。
估计大家早就接触过
了，不过也许你并不懂这是什么意思，这也不奇怪。
e 的这个定义，通常都放在大部头的分析教科书的最开始处，这是模仿法国的教法，而丝毫不讲它的来由，这样就丢掉了真正有价值的、能促进理解的部分，即不解释为什么恰好用这样特别的极限做底...这种不问究竟的态度是可鄙的实用主义，它藐视任何一种比较高级的教学原则，对它必须严厉谴责。 - 克莱因 《高观点下的初等数学》[5]
注释
[1] 幂运算的结果都叫做幂数，但涉及到对数的时候，可能会叫做真数。
[2] 其实最初的两种对数表都不是十进制的，他们的底数都是
极其小，分别是
和
。这么做，自然是为了让变化速度尽可能小，以便于计算。
[3] 更多数的情况并不是恰好能够查得到，而是落在两个数之间，如果要求精度比较高的话，根据差再查一下表就行了。
[4] 题目来自《数理化自学丛书》，这一套书是十年动乱之后，高考恢复时，提供给给考生的自学书籍。可以说是一代考生的集体记忆。
[5] 菲利克斯 · 克莱因是 19 世纪末 20 世纪初世界最有影响力的数学学派——哥廷根学派的创始人。同时他也是一位教育家，是现代国际数学教育的奠基人。
参考资料
《e的故事》
《图解数学学习法》(“乘法和加法之间的桥梁”相关图片)
《数学史》
https://www.zhihu.com/question/33437910 @Tariel
https://www.zhihu.com/question/26097157 @马同学
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