每日一题327：三重积分计算的五种常用思路、方法及典型题分析
练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习327 ：计算三重积分
其中积分区域为：
先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！
【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
【注2】每日一题题目并非咱号完全原创，一般来自各类参考书或网络资源，由学友改编、整理并由咱号免费推送分享。
练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习327 ：计算三重积分
其中积分区域为：
【参考解答】 ：【思路一】 由积分区域为上半球域，被积函数有两项的平方和，考虑球坐标方法计算三重积分. 建立球坐标变换如下
则依据建立的球坐标系，可知积分域的球坐标变量范围为
所以由三重积分的球坐标计算公式，得
【思路二】 由积分区域为上半球域，用平行于面的平面截取所得区域为圆域，即
且. 又被积函数包含有项，故可以考虑先二后一的截面法计算三重积分. 并且二重积分由于积分区域为圆域，并且包含项，故可考虑极坐标方法，故得
【思路三】 由积分区域为上半球面和面围成，所以为简单的型区域，故可以考虑三重积分先一后二的投影法来计算三重积分，并且在面上的投影区域为
根据投影区域的图形特征和被积函数包含有项，故对于后面的二重积分考虑极坐标方法计算，故得
【注】：对于先一后二方法，如果先不计算定积分，直接将三重积分写成二重积分用极坐标描述的累次积分表达式，并且将的积分上下限和被积函数中的变量用极坐标变量描述，即
则积分方法即为三重积分的柱坐标计算方法. 对于柱坐标、球坐标变换计算方法其实就是三重积分的换元法. 比如由球坐标变换关系式
可得雅克比行列式的绝对值为
故由三重积分换元法公式可以得到三重积分的球坐标计算公式，类似有柱坐标变换的换元结果.