量子理论的诞生和发展（32）:卷缩隐藏的维度
作者：张天蓉
什么是物理理论？用一个不太恰当的比喻来说，它好比是正在上演的一部大戏。戏剧的要素有3个：舞台、演员和剧本。对于物理理论来说也是如此：物理理论的大舞台就是我们的宇宙；世间万物，或者说构成万物的基本元素，就是舞台上形形色色的各种“演员”，而万物遵循的物理规律便是物理学家们正在编写的“剧本”。
在弦论之前的物理学中，无论是牛顿还是爱因斯坦，大多数理论（除少量例外）的舞台就是我们众所周知的三维空间，再加上时间，被称为“四维时空”。标准模型中的61种“基本粒子”就是在“四维时空”中遵循量子规律而上演的一部大戏。这些基本粒子包括传递相互作用的玻色子和构成物质的费米子。所有基本粒子都被认为是没有结构和大小的“点”状粒子。
图32-1：弦论的空间与众不同
弦论却有所不同，虽然仍然是三个要素，但它们的内容改变了。舞台从四维变成了超弦的10维，或者M理论的11维；角色从（0维）点粒子变成了（1维）的“弦”（或者可以推广到2维膜、3维……等等）；“剧本”，即万物遵循的规律在弦论中也有所不同（如上图所示）。
众所周知，我们生活的空间是3维的，也就是通常所说的“前后、左右、上下”3个不同的方向。如果再加上时间算一维，那么我们的世界是一个四维时空，按通俗直观的理解就是任何发生的事件，需要用4个数值来表示。
例如，新闻报道说“北京时间2021年1月15日20时32分在（北纬38.43度、东经97.35度、深度9千米）处发生地震。”这儿的“北纬、东经、深度、时间”指明了一个确切的地震发生的4维时空点。
从数学意义上讲，维度是可以扩展的，多几个维度不过就是多几个描述事件的数值而已。例如要描述发生地震的事件，除了“北纬、东经、深度、时间”这4个“时空点”数值之外，还可以加上“震级、烈度、死亡数……”等等，这就相当于扩展了事件的维度数。
然而，在超弦论中，并非简单地增加参数，而是认为宇宙的“时空”本来是10维的。也就是说，除了1维时间之外，超弦理论认为我们生活的空间是9维的。这是怎么一回事，应该到哪儿去寻找这多出来的、我们感觉不到的6个空间维度呢？弦论学家们对此的解释是：因为那几个额外的维度被“卷缩”起来并且“隐藏”在了一个非常小的尺度中。
物理理论中的所谓“尺度”，普朗克尺度被认为是现代物理中的最小尺度，包括“普朗克长度”和 “普朗克时间”。它们标志着现代物理学认可的、可以被测量的最小极限长度和极限时间。其数值是：
凡是冠以“普朗克”的物理量，大都与量子现象有关。从这两个公式可以知道，普朗克长度lp（和时间tp），均与标志微观量子物理的普朗克常数h相关。因此，它们是非常小的数值。到底有多小呢？如下图列出了构成物质的基本单元之尺度大小的比较。从图中显示的数据可知，普朗克长度（≈10-33cm）比原子的平均尺度（约10-8cm）还要小上25个数量级！图中标出了原子、质子、电子以及普朗克尺度大约的数量级。由此可见：弦论中的“弦”以及四维空间之外的维度都卷曲在不可观测的普朗克长度以下。在如此小的尺度下，通常的物理定律，包括现有的量子力学以及粒子物理标准模型等，都已经完全失效，而引力被认为有可能开始展现量子效应，然而我们传统上对时间、空间的概念就可能会全盘瓦解。
各种尺度大小比较的示意图
实际上，我们并不清楚小于普朗克尺度的极小范围中的物理规律是什么，因为我们无法使用现有的技术手段对小于普朗克尺度的所谓维度做出任何测量。
换言之，对小于普朗克长度范围内物理系统的情况和状态，实验和测量无能为力，科学家们只能发挥极大的想象力来进行大胆的假设和猜测。尽管这样的假设和猜测无法在普朗克长度范围之内被直接观察和验证，但却可以以此建立适应更大外围空间（普朗克尺度之外）的物理理论。这些理论有可能解决现有理论尚未解决的问题，并且可以（间接地）被实验证实或证伪。例如，理论物理的两大支柱：量子和引力似乎水火不相容，现有理论无法将它们统一起来，弦论便是因此应运而生的一种理论。所谓的“卷缩隐藏的维度”，便是弦论学家们所作的基本假设和猜测之一。也正是因为有宏大的目标，即使在难以用实验验证的情况下，物理学家们仍然孜孜不倦地努力研究弦论，期待着用这个深层模型能够克服标准模型和其它量子理论的困难，解决物理理论中尚不能解决的问题，实现将万物统一到一个单一的理论框架中。事实上，这个目标已经达到了一部分目的，弦论是迄今为止最有希望统一所有相互作用和粒子的物理理论。
在日常生活中，我们之所以只能感受到3维空间和1维时间，从未观察到弦论的“额外维度”，原因在于额外空间维度卷缩隐藏在极小的尺度中，用数学的语言来说，这些空间是“紧致化”的。
隐藏着的额外1维空间（圆）
空间既然能“卷缩”，那就必然是弯曲的，比如，1维圆圈相对于电缆线而言就是隐藏着的。所以我们首先要明白什么叫“弯曲的时空”？广义相对论认为，我们生活的四维时空也是弯曲的。只要有物质存在，时空就会弯曲。
物质使时空弯曲
从广义相对论的角度看，本文一开始将物质和空间分别比喻为“演员和舞台”两种独立实体似乎不太恰当。在现实的宇宙中，物质和时空不可分割、互相影响。物质使得时空弯曲，时空决定了物质的运动。不过，四维时空的弯曲程度与弦论中额外维度的弯曲相比要小得多，以至于我们所感受到的四维时空是平直的，但弦论考虑的是极端“弯曲和紧致”的额外6个极小维度。
事实上，物理学中引进额外的空间维度并非从弦论开始，早在1921年就有人试验过了。那是爱因斯坦的广义相对论将引力场几何化后，一位德国数学家西奥多·卡鲁扎，企图将电磁作用也几何化，他在四维时空的基础上加上了额外的第五维，以此来容纳与电磁场有关的变量，达到电磁和引力的统一。
根据卡鲁扎的想法，可以在广义相对论使用的四维时空上加上一个额外的空间维。这一维代表电磁场，应该与电荷q或电磁势A有关系，其中还包括了一个额外的标量场f，这个标量场所对应的粒子被卡鲁扎称之为“radion”（见图）。
卡鲁扎-克莱因的五维时空理论
根据五维时空的构想，卡鲁扎可以得到好几组方程式，其中包括等价于爱因斯坦场方程的一组、等价于麦克斯韦方程组的一组，以及关于标量场f的方程。后来，瑞典物理学家奥斯卡·克莱因又将此理论纳入量子力学，由此建立了卡鲁扎-克莱因理论。
如何解释理论中的第五维这个额外维度？卡鲁扎和克莱因认为，我们不能看到第五维空间，是因为它卷曲成了一个很小的圆。正是这个新颖的想法（诠释）开了多维空间之先河，也有了第一个高维宇宙的模型，直接影响了之后的物理学家们建立标准模型以及关于额外维度的几何构想。
第五维就象是在原来的4维时空中加上了一些极小的圆圈（图示中的2维时空网格代表三维空间），由于这些圆圈的尺寸太小，我们感觉不到它的存在。物理学家计算出了卡鲁扎-克莱因五维时空中圆圈的大小，只有约为10-30厘米的数量级。
类似圆圈的第五维可以被理解成复数平面上的旋转。电磁理论对应于复数平面上的旋转，这是数学家外尔后来建立的电磁场与量子化电子场相互作用的规范场的关键模型，后来又被推广到杨-米尔斯理论等。爱因斯坦曾经思考过卡鲁扎-克莱因理论，卡鲁扎最原始的论文就是在爱因斯坦的支持和推荐下得以发表的。但爱因斯坦最终放弃了这个思想，没有在这条路上进一步走下去。
维度是什么？从5维模型理论来看，更高维可以理解是更多维数的宇宙空间。这些多余的维度，卷曲在人们无法感觉到的维小尺度（＜普朗克长度）中。
宇宙空间的额外维度
但是，维数太高的空间是难以直观想象的。0维空间表示一个点，1维是直线，2维是面，3维是体积。到了4维，还可以想象成“体积”的变动，但维数大于4的空间，就不那么直观了。所以我们最终不能只依赖于几何图形，必须从理论上来深入探究：什么是维数？额外维度的意义何在？
维数的几何表示
在数学中，维数是独立参数的数目。所以维数增加就是增加了表示某个事物和事件所需要的变量数。从这个意义上讲，我们在日常生活中也是经常和“高维空间”打交道。例如，要记录一个新生儿出生时的情况，仅仅4个时空值是远远不够的，除了出生地点、年、月、日、时刻之外，还有体重、身长、血型、心跳快慢、呼吸次数...，等等，这些独立参数的结合就形成了数学上的一个多维空间，每一维都有其物理意义。
物理理论中几何空间维度的增加是为了描述更多的对称性，也就是为了描述更多的物理规律，因为物理规律总是和某种对称性联系在一起。当年卡鲁扎试图统一引力和电磁力，他将时空增加到5维。超弦理论企图统一的除了引力和电磁力之外，还有强、弱相互作用以及构成宇宙万物的所有基本粒子，如果只有1个额外的维度，显然包容不了这么多。因此，为了描述所有的对称性，超弦中的空间额外维度增加到了6维。
我们眼中的电缆线是1维的，但在蚂蚁的眼中，那根电缆线却是2维的；我们看到的一维电缆上的每一个点，蚂蚁看见的则是一个额外的“小圈”。同样的道理，可以用来描述弦论的世界：目前，我们只能感觉到3维空间，观察、测量到在3维空间中活动的基本粒子。然而，如果存在普朗克尺度以下的“极小”生物的话，它们便可能感觉到（3+6=）9维的空间。也就是说，在我们感觉到的3维空间的每一个点，这些小生物都感觉到一个额外的“6维小团”。话说回来，这样的小生物不可能存在，但不妨如此想象一下，或许能帮助我们更好地理解这个额外维度。