重庆巴蜀中学高2021届第22题：非对称韦达定理问题

重庆·云师堂

发生肾摸（什么）事了？

家庭作业忘了翻页，我大E（大意）了，少做了几个题。

你不是大E（大意）了，是有bear（备）而来，这样好吗？这样不好。年轻人，耗子尾汁（好自为之）。

永远耗子尾汁（好自为之），永远年轻……

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

本题是一道椭圆压轴题，考查椭圆方程、定点问题以及最值问题。显然，这是套用新高考山东卷的模式，递进式设问，步步为营。

第1问求方程，直接送分；第2问，定点问题是求最值的关键（倘若增加难度，大可删掉此问），求出定点坐标后，三角形的面积势如破竹。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

本题的难点是结论中出现了非对称的结构，韦达定理不再像平常那样可直接代入。法1通过建立两根之和与两根之积的关系，然后代入便可直接约分求得定点的坐标。

非对称结构在全国卷中寥若星辰，但在地方卷中却是司空见惯，诸如江苏卷、四川卷、北京卷等都曾大显身手（见操作）。

法2则是代一半，保留一个根，消去另一个根，最终同样可以约分求得定点坐标。相较法1，法2似乎更容易接受。

法3则是另辟蹊径，先通过特殊情况确定定点的坐标，再验证定点对一般情况成立。具体操作是利用三点共线等价于斜率相等，也即斜率之差等于0。

貌似法3较为麻烦，但它的好处在于将韦达定理不可直接代入转化为可直接代入，注意斜率的选择（不是任意情况都可以直接代入）。

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

解决这类问题的常见方法有三种：

①寻求两根之和与两根之积的关系，代入后分子分母成倍数关系，约分即可；

②代一半，消去其中一个根，保留另一个根，代入后可约分；

③通过其他途径，转化为对称形式，即可代入韦达定理。

除此之外，利用求根公式强算也不失为一种手段，不过太暴力了，我是没有那个信心和勇气的。

4  操作

行同陌路，抑或一见如故