习题研究：模型迁移在曲率圆与向心力问题中的应用

1 引言

近日，在给我的学生做试题讲评课直播的时候，遇到了2011年的安徽高考题，高一学生做高考题，难度还是有的。我在讲评中运用了模型迁移法，将陌生的抛物线模型转化为圆周运动模型。

2 试题回复

一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度υ0抛出，如图（b）所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是（　　）

3 分析思路

这是2011年的安徽高考理综试题，在抛物线的最高点分离出一个曲率圆，可以将小球在抛物线上的匀变速曲线运动转化为竖直面内沿曲率圆的匀速圆周运动。

在曲率圆的最高点，小球在曲率圆上的速度是初速度的水平分量，提供向心力的是小球的重力，由向心力公式可以求出曲率半径的表达式。

答案就是选项C。

4 拓展延伸

就本题中的条件，如何求解抛出点的曲率半径？如何求解抛物线上任一点的曲率半径？

这一问题教材上有所介绍，当物体做变速圆周圆周运动时，合外力并不指向圆心，此时可以将合外力沿着切线和半径方向进行分解，半径方向的分力就是向心力。

按照上述思路，可以在抛出点绘制抛物线的曲率圆，重力在曲率圆半径方向上的分量就是向心力，而小球在曲率圆上的线速度就是斜抛运动的初速度。有了向心力和线速度，自然就可以求出抛出点的曲率半径了。

同样的，只要找到小球在抛物线上任一点的线速度的大小和方向，就可以参照上述方法计算该点的曲率半径。

5 感悟

高考题的命制从来就没有偏离过教材，很多高考题的物理背景都直接或间接来自于教材，只有研读教材，深挖教材，用好教材，才能将日常教学与高考备考紧密结合在一起。

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