物理学家发现了几何“理论空间”，将解决量子理论的基础几何问题
在20世纪60年代，杰出的物理学家杰弗里·周（Geoffrey Chew）提出了一种研究物理学的新方法。那个时代的理论家们正努力在一群新发现的粒子中寻找秩序（规律）。他们想知道哪些是自然的基本组成部分，哪些是这些基本成分复合物。但是，加州大学伯克利分校的教授周反对这样的区分。
自德谟克利特（Democritus）以来，科学家们一直采用简化的方法来理解宇宙，认为宇宙中的一切都是由某种无法进一步解释的基本物质构成的。但是周推测每个粒子都是由其他粒子组成的，而这些其他的粒子是通过交换粒子（胶子）而结合在一起的，这个过程传递了一种力。因此，粒子的特性是由自洽反馈回路产生的。
周的方法被称为bootstrap法。早期，周用bootstrap法预测了ρ介子的质量。ρ介子是一种由π介子组成的粒子，通过交换ρ介子聚集在一起。
但是ρ介子是一种特殊的情况，bootstrap法很快就失去了优势。另一种有竞争的理论把质子和中子等粒子作为基本粒子——夸克的复合物。这种夸克相互作用理论，被称为量子色动力学，更好地匹配了实验数据，并很快成为粒子物理学的三大支柱之一。
但单个夸克的性质似乎是任意的，在另一个宇宙中它们可能是不同的。物理学家们认识到，这些粒子并不反映出一致的自然理论。相反，无数种可能的粒子可以想象在任意数量的空间维度中相互作用，每种情况都可以用自己的“量子场理论”来描述。
- 杰弗里·周1961年在加州伯克利的一个研讨会上。
几十年来，bootstrap在物理学界一直没有引起重视。随着物理学家们发现了似乎能解决许多问题的新bootstrap技术，这一方法重新焕发了活力。尽管一致性条件对于梳理复杂的核粒子动力学仍然没有太大帮助。但bootstrap被证明是理解更对称、更完美理论的有力工具。根据专家们的说法，这些理论在所有可能的量子场理论空间中充当“路标”。
当新一代的物理学家探索这个抽象的理论空间时，他们似乎正在验证周在半个世纪前提出的愿景。他们的发现表明，所有量子场理论的集合形成了一种独特的数学结构，。
物理学家们利用bootstrap法来探索这一理论空间的几何形态，在寻找“普适性”的根源。“普适性”是一种非凡的现象，如在磁铁和水等不同的材料中，会出现相同的行为。他们还发现了量子引力理论的一般特征，对我们自己的宇宙中引力的量子起源和时空本身的起源有着明显的影响。
Bespoke Bootstrap
从技术上讲，bootstrap法是一种计算“相关函数”的方法——这些函数编码了量子场理论中描述的粒子之间的关系。考虑一块铁，这个系统的相关函数表示了铁原子在磁性方向相同的可能性，作为它们之间的距离的函数。两点相关函数给出任意两个原子对齐的可能性，三点相关函数编码任意三个原子之间的关联，以此类推。这些函数基本上告诉你关于铁块的一切。但它们涉及无穷多项，充斥着未知指数和系数。一般来说，它们计算起来很麻烦。bootstrap方法是试图约束函数的项，希望能解出未知变量。
当时还在俄罗斯朗道理论物理研究所（Landau Institute for Theoretical Physics）工作的波利亚科夫（Polyakov）被普适性的奥秘所吸引，对这些特殊案例产生了兴趣。正如凝聚态物理学家发现的那样，当在微观水平上完全不同的材料被调整到它们经历相变的临界点时，它们突然表现出相同的行为，并且可以用相同的数字来描述。例如，将铁加热到不再被磁化的临界温度，它的原子之间的关联由同样的“临界指数”来定义，水在其液体和蒸汽相相遇的临界点时，其原子之间的关联就是由同样的“临界指数”来定义的。这些关键指数显然与这两种材料的微观细节无关，相反，它产生于两个系统，以及它们的“普遍性类”中的其他系统的共同之处。波利亚科夫希望找到连接这些系统的普遍规律。
波利亚科夫意识到，临界点上的材料的共同之处是它们的对称性——使这些系统保持不变的几何变换的集合。他推测，关键材料表现出一种称为“共形对称”的对称，包括最重要的尺度对称。放大或缩小，比如说，铁的临界点，你总会看到相同的模式：朝北向上的原子块被朝下的原子块包围着，而这些原子则在更大的向上的原子团中，以此类推，在所有放大范围内。尺度对称意味着共形系统中没有“近”和“远”的绝对概念。如果你翻转其中一个铁原子，这种效应随处可见。
整个世界显然不符合常规。夸克和其他基本粒子的存在通过将基本质量和距离尺度引入自然界而“打破”了尺度对称性，而其他质量和长度可以通过这些尺度来测量。因此，由大量粒子组成的行星比我们重得多、大得多，而我们比原子大得多，原子是夸克旁边的庞然大物。对称性的破坏使得自然具有层次，并在相关函数中注入任意变量——这些特性削弱了周的bootstrap方法的力量。
- 2013年，亚历山大·波利亚科夫在瑞士日内瓦获得物理学奖。
但是由“共形场论”（CFT）描述的共形系统在上下方向上都是一致的，波利亚科夫发现，这使得它们很容易采用bootstrap法。例如，在磁铁的临界点处，尺度对称性要求两点相关函数在调整两点之间的距离时必须保持不变，从而约束了两点相关函数。另一种共形对称是说，当你颠倒这三个距离时，三点函数不能改变。1983年，亚历山大·贝拉文（Alexander Belavin）、波利亚科夫（Polyakov）和亚历山大·萨莫洛奇科夫（Alexander Zamolodchikov）在一篇名为《BPZ》的里程碑式论文中指出，在二维空间中，有无数种共形对称可以用来约束二维共形场论的相关函数。作者利用这些对称性来解决一个著名的CFT的临界指数，即二维伊辛模型——本质上是一个平面磁铁的理论。BPZ利用共形对称的定制程序“共形bootstrap”一举成名。
“我基本上开始做其他事情，”波利亚科夫说，他后来对弦理论做出了开创性的贡献，现在是普林斯顿大学（Princeton University）的教授。与十多年前最初的bootstrap法一样，共形bootstrap法也被废弃了。这种沉寂一直持续到2008年，当时一组研究人员发现了一个强大的技巧，可以近似求解三维或三维以上的CFT的波利亚科夫 bootstrap方程。“坦率地说，我没有预料到这一点，我一开始就认为这里面有些错误，”波利亚科夫说。“在我看来，输入方程式的信息太少，无法得到这样的结果。”
意外的问题
2008年，大型强子对撞机即将开始寻找希格斯玻色子（Higgs boson）。希格斯玻色子是一种基本粒子，它的相关场会给其他粒子带来质量。物理学家们想要知道是否有一种共形场理论是产生质量的原因，而不是希格斯粒子。他们写下了这样一个理论必须满足的 bootstrap方程。因为这是一个四维共形场理论，描述了一个有四个时空维度的宇宙中的假想量子场， bootstrap方程太复杂了，无法求解。但研究人员找到了一种方法，为该理论的可能性质设定界限。最后，他们得出结论，不存在这样的CFT（事实上，大型强子对撞机在2012年发现了希格斯玻色子）。但他们的新方法却为他们发现了一座金矿。
将四点相关函数中的四点（它几乎编码了CFT的所有内容）想象成矩形的角；根据 bootstrap方程，如果在角1和角2处扰动共形系统并测量角3和角4的影响，或者你在角1和角3处扰动系统并测量角2和角4，两者的相关函数是相同的。函数的两种写法都包含无穷项的级数；它们的等价性意味着第一个无穷级数减去第二个无穷级数等于零。为了找出哪些项满足这个约束条件，物理学家提出了另一个叫做“统一性”的一致性条件，要求方程中的所有项都必须是正的系数。这使得他们可以把这些项看作向量，或者从一个中心点向无限多个方向延伸的小箭头。如果能找到一个这样的平面，在一个有限的维度子集中，所有的向量都指向平面的一边，那么就存在不平衡；这组特殊的项的和不能为零，也不代表 bootstrap方程的解。
物理学家开发了算法来搜索这样的平面，并将可行的CFT的空间限定在极高的精度。该程序最简单的版本是两条曲线相交于一个称为“扭折”的点。这些图排除了曲线范围外具有临界指数的CFT。
- 图节选自《自然物理》537 (2016)
2012年，研究人员锁定了三维Ising模型的临界指数值，这是一种众所周知的复杂CFT，它与真正的磁铁、水、液体混合物和许多其他材料在临界点处的通用性相同。到2016年，波兰和西蒙斯-达芬已经将该理论的两个主要关键指数计算到了小数点后六位。但比这种精确度更惊人的是，3D伊辛模型在所有可能的3D CFT中所占的位置。它的临界指数可以落在3D CFT排除图允许区域的任何地方，但出乎意料的是，这些值正好落在图的拐点处。从某种程度上说，通用计算是为了找出现实世界中出现的重要理论。
研究人员正在向各个方向推进。一些人正在应用bootstrap法来处理一个特别对称的“超共形”场论，它在弦理论中发挥作用，并被推测存在于六维空间中。但是，探索CFT的努力将使物理学家们超越这些特殊的理论。
康奈尔大学的bootstrap专家汤姆·哈特曼说，绘制量子场论空间是bootstrap项目的宏伟目。
揭开代表所有可能量子场理论的多面体结构，在某种意义上，将夸克相互作用、磁体以及所有观察和想象的现象统一在一个单一的、不可避免的结构中。但是，当研究人员追求这个抽象概念时，他们也在利用bootstrap来开发CFT和许多物理学家最关心的理论之间的直接联系。探索可能的共形场论也在探索量子引力的可能理论。
Bootstrapping量子引力
共形Bootstrapping 法正在成为量子引力研究的有力工具。阿根廷裔美国理论家胡安·马尔达塞纳（Juan Maldacena）在1997年发表的一篇论文中，论证了CFT与至少具有一个额外空间维度的引力时空环境之间的数学等价性。这篇论文目前是物理学史上被引用最多的论文之一。马尔达塞纳的对偶性，被称为“AdS/CFT对应”，将CFT与相应的“反德西特空间”联系在一起，这个空间带有额外维度，像全息图一样从共形系统中跳出来。AdS空间的鱼眼几何形状与我们自己宇宙中的时空几何形状不同，但引力在那里的作用方式与在这里差不多。例如，这两种几何结构都产生了黑洞。
现有的理论不适用于黑洞；如果你试图将量子理论与阿尔伯特·爱因斯坦的引力理论结合起来，悖论就会出现。一个主要的问题是，即使爱因斯坦的理论说量子信息会蒸发，黑洞是如何设法保存量子信息的。要解决这个悖论，物理学家需要找到引力的量子理论——一种更基本的概念化理论，在低能量的情况下，比如在黑洞外，时空图就会出现。AdS/CFT的惊人之处在于，它给出了量子引力的一个可行的例子，其中一切都是定义明确的，我们所要做的就是研究它并找到这些悖论的答案。
如果说AdS/CFT对应为理论物理学家提供了量子引力理论的显微镜，那么共形 bootstrap就是让显微镜工作的光。2009年，理论学家利用自助法找到了证据，证明在AdS空间中，每一个满足特定条件的CFT都有一个近似的双重引力理论。从那时起，他们就一直在编写一个精确的字典，在CFT的关键指数和其他特性以及ads空间全息图的等效特性之间进行转换。
我们自己的宇宙是否像AdS宇宙一样，从共形场理论中全息地出现，或者这是否是正确的思考方式，还远未明确。他们希望，通过bootstrap方法来统一可能的物理现实的几何结构，物理学家将更好地了解我们的宇宙在宇宙的大格局中所处的位置，以及这个大格局是什么。