数学：在哲学与真理之间 或论数学的哲学形象
马天俊 哲学园 2015-02-27
数学：在哲学与真理之间
或论数学的哲学形象
马天俊
哲学和各门具体科学是互动的，某一科学的兴盛和定型都对哲学产生影响，其成果、方法或舆论形象渗透到哲学之中，并引导哲学的思考方式和目标。但这并不总是毫无问题的。本文探讨一个贯穿在哲学日历中、对哲学深有影响的学科——数学，准确地说，探讨数学对哲学典范作用的兴盛与消解，这种典范作用常以真理问题为枢纽而展开。
通常，数学一向被认为是透彻性、可靠性与有效性的化身。这使数学在人类学术中占有特殊地位。数学自明的概念、抽象的推理、确定的结论，赢得了哲学最持久的仰慕。哲学真理要立得住，就必须达到数学真理的层次。这种自觉意识几乎主宰了西方哲学的主流形态。
当然，哲学模仿数学，未必要把内容完全量化，因为哲学的题材明显不能如此呆板地处理。哲学要取之于数学的，毋宁是其中自明性初始概念的确立和使人不得不信服的逻辑方法。
一种理想的方案是：宏大而复杂的哲学主题，加上不由人不信服的逻辑，构成一个论断系统，对它来说，所断言的都是真理，同时一切可能的真理也无不蕴含其中。
一、结合
古巴比伦、埃及、印度和中国都有丰富实用的数学经验，但只是使用它们罢了，没有要求“逻辑证明”。证明的要求是古希腊“几何学”的特色。
最早使希腊数学独具特色的人也是西方哲学的第一人。泰勒斯要求把只知其然的经验提升为也知其所以然的知识。“正是泰勒斯曾极力主张，对几何陈述，不能仅凭直觉上的合理就予以接受，相反，必须要经过严格的逻辑证明”[1]。E·策勒尔更进一步指出：“数学研究以及由此唤醒的科学意识，对于他不依据神话去说明事物终极基础所作的努力，无疑有很大影响。”[2]西方哲学的理性论证精神， 或是源自数学的，或是经由数学强化了信心。这种缘起上的孪生状况意义重大，它为西方哲学的惯有风格预制了潜力强劲的基调。在数学上请教过泰勒斯的毕达哥拉斯更醉心于数学。在他那里，甚至不能说数学影响哲学，而应当说数学就是哲学。数乃万物之原，数统治着宇宙。“宇宙”（Cosmos）这个词最早被毕达哥拉斯派使用时，就是指由数及其关系构织规划而成的宏大秩序。毕达哥拉斯使在泰勒斯那里较隐晦的东西变明确了：数学是哲学的楷模。从此，希腊数学的品格就成为西方哲学孜孜以求的品格。“毕达哥拉斯主义……对于整个西方理性思维有过决定性的影响”[3]，这种影响经过柏拉图而巩固。在他看来，数学对象和哲学对象（理念）同属于至真、至善、至美的可知世界，数学是升入理念世界的“梯子和跳板”[4]。柏拉图的影响无与伦比， 但罗素却洞穿了精髓：“我不知道还有什么别人对于思想界有过像他（指毕达哥拉斯。——引者）那么大的影响。我所以这样说，是因为所谓柏拉图主义的东西，倘若加以分析就可以发现在本质上不过是毕达哥拉斯主义罢了。”[5] 亚里士多德给出了贯通数学与哲学的思维机制，即逻辑。他把数学、神学和自然科学并置为最高理论学术，又将逻辑学与形而上学并置于神学之中。在他看来，逻辑学既是特殊学科，又是通用于各学科的思维规范。在他自己的哲学中，凡是需要证明和确定性的地方，他都大量举证数学[6 ]。似乎可以指望经亚里士多德之手而近于成熟的抽象思维方法能使数学、自然科学和哲学都成熟起来。但历史表明，自然科学长期停滞不前，哲学一直风雨飘摇，惟有数学真正在欧几里得《几何原本》中成熟起来。《几何原本》是希腊数学思想汇编，其卓越在于锤炼出严密的公理化演绎系统。该书从23个定义、10条公理出发，按逻辑规则勾织了一张不由分说的命题之网。为数很少的初始原则几乎无一例外地具有自明性，但却能演绎出极其丰富可靠的命题。此种以简驭繁、一致而百虑的效能给哲学提供了一个可望且似乎可及的榜样。《几何原本》对西方心智的陶冶举足轻重。人们一个世纪又一个世纪地编辑、研习这部书，据统计，仅自文艺复兴以来，它就拥有2000多个版本。在西方文明的典籍中，只有《圣经》堪与媲美。中世纪虽是基督信仰的一统天下，但希腊理性精神——其内核是数学精神——在为信仰做辩护中延续了命脉。中世纪神学前期以柏拉图主义为支柱，后期则以亚里士多德主义为权威。圣奥古斯丁仍然把在毕达哥拉斯和柏拉图哲学中优先的数学揉进神学。圣托马斯仍然认为哲学不多不少就由数学、物理学、形而上学组成。当时教育中盛行的“七艺”里，音乐、算术、几何、天文都以数学为根底。
这种延续性使中世纪末期的R·培根径直把数学视为哲学的基础。他的理由是：一、其他科学都以数学为模式；二、对数学的理解是天赋的；三、适合于我们的途径是由易到难；四、数学既为自然所知又为我们所知；五、在数学中确能达到没有错误的完全真理以及在各方面都无可置疑的确信。这些观点具有承前启后的巨大重要性[7]。
二、强化
的确，自17世纪起，一切真理向数学看齐的潮流迅速蔓延。这尤其为伽利略和牛顿运用数学方法在自然科学上取得的巨大成功所加剧。既然亚里士多德早就把数学、自然科学和哲学同列为最高学术，既然数学彻底改造了自然科学，那么，这种样板也自然应在哲学领域大显身手。文化样式之间通常是相互感染的。共存于文化中的诸样式一如共存于社会中的诸个人，某人以某种方式取得了某种成功，其他人就自然地起而仿效；如果那成功是特别地辉煌与重要，便会出现众人趋之若鹜的局面。
笛卡尔率先要求：“探求真理正道的人，对于任何事物，如果不能获得相当于算术和几何那样的确信，就不要去考虑它。”[8] 又说：“数学的推理确切而且明白。……我觉得非常奇怪，它的基础既然这样稳固，这样坚牢，人们竟然没有在上面建造起更高大的建筑来。”[9] 笛卡尔所瞩目的，是要建立一门以数学为基准、范围更广的“普遍马特席斯”（Mathesis Universalis即普遍数学或普遍科学）。照此思路，斯宾诺莎把《伦理学》加工成了《几何原本》的模样。不过，这种几何化哲学有两个严重缺陷：第一，它的初始条件（界说和公则）远不像点、线、面那样显明，而不甚明晰的概念对于严格可靠的演绎来说是无穷的隐患。第二，为使“证明”可理解，不得不另加庞大数量的“附释”，这表明所谓证明根本就不够严谨明确，非用日常语言来修修补补不可。实际上《伦理学》只能算《几何原本》的赝品。莱布尼茨走得更远，他认为自己思考出了构造理想语言的办法，“我发现了一件惊人的事，那就是我们能用数字表达各种各样的真理和推断”[10]。“在数中隐藏了最深奥的秘密”[10]，据此设计的语言被他称为“普遍语言”或“普遍文字”，它能表达一切思想，有明晰的含义和精确的规则，人们使用它进行思想就和做算术题一样。莱布尼茨曾写道：“我的形而上学可以说全都是数学，或者能变成那个样子。”[11]在他们的巨大影响下，数学标准牢固地树立为哲学合法性的当然标准。
在这方面，近代经验论的立场与唯理论并无不同。霍布斯认为“几何学是上帝眷顾而赐给人类的唯一科学”，“算术始终是一门确定不移、颠扑不破的艺学”，以此为准，思维在机制上就是名词、观念的加减，“推理就是一种计算”[12]。洛克在考虑如何推进人类知识时也不无钦羡地援引数学的启示，他写道：“我们如果用数学家所惯用的方法来考察它们（观念问题。——引者），它们一定会使我们的思想十分进步，十分明白，十分显然，而且明显的程度会超出我们平常所想象的程度而外。”[13]纵然在经验论走向怀疑论结局时，休谟还是对数学网开一面，他说：“只有数量科学，我想可以确乎断言是知识和解证的适当对象。”[14]
哲学模仿数学的状况在康德那里有所变化。他明确禁止哲学想当然地模仿数学。但恰恰是康德空前有力地把数学真理以先天综合判断的形式提升为“先验真理”，并以此勘测形而上学作为科学是否可能。虽然他的结论不够乐观，但确保了理论理性范围内知识的真理性，他在主体先验能力的范围内拟定了一套范畴演绎体系，想达到的依旧是数学般不可抗拒的严密性与可靠性。因此，康德虽不像毕达哥拉斯和莱布尼茨那样直接借重数学，却做到了最彻底地把对确定性与完备性——数学特性——的寻求埋入哲学活动的心脏。康德的范畴演绎体系及其界限主要引起了三种不同的反应：
第一，意志主义和生命哲学干脆废弃了理性逻辑的策略，自然也就废弃了数学的榜样，但这是基于外在的理由：情感、意志、痛苦、死亡之类用数学极难处理。
第二，从费希特到黑格尔的古典哲学把体系的权能推向极致，发挥出一种泛逻辑的“超级理性”，期望体系的每一环节都是某种特殊真理，而最终一切真理都在体系之内。他们的言论多有对数学方法的批评，但这并不妨碍他们实际上实行数学的模式。辩证法同样是普遍的、确定的、强制的。在这个意义上，古典哲学是辩证的“几何原本”。
第三，分析哲学继承了康德的分析传统。尽管它不再抱着成就某种涵盖一切的知识体系的莱布尼茨理想，但它惯于这样来从事哲学的分析：如果有什么论断引起迷惑或争议，那么就得把它翻译成标准的逻辑表达式，然后使用真值表就可以机械地亦即简单地找到问题的正确答案，或者指出所提问题的非正当性而取消之。这其实正是莱布尼茨依据“普遍语言”提出的策略：先生，让我们来算一算吧。
西方哲学主流的变迁中，哲学始终追随数学，借鉴其概念、方法和体系，在确立哲学真理时，要么举证数学命题作为范例，要么从数学方法的启示出发，变通运用。根本上，向数学模仿——这本身不成问题。问题只在于不同主题或论域下如何模仿得好。
事实上，哲学倾心于数学的努力一直没有成功，没有一个哲学体系取得了《几何原本》那样的成功。通常，人们从中领悟到的教训是：哲学有别于科学，题材纷繁复杂、变幻莫测，不易找到公认的基点和道路。但这没有阻断努力，后人总可以把败绩归咎于前人的不慧，重新努力。
三、消解
其实，哲学特异、题材复杂、前人不慧未必囊括了所有解释。也许，榜样本身就是虚幻的，本不具备一向指望于它的那种普遍必然性。久久尾随一个人，向他讨取他毕竟没有的珍宝，岂能如愿？正是以这样的形式，一个多世纪以来，哲学真理之数学理想的落空无可挽回地出现了：数学真理自身的确定性出了大问题，坚如磐石的大地开始晃动。
早在《纯粹理性批判》问世前后，一些数学家已从证明平行公理的徒劳中领会到：它作为公理可能只是基于经验归纳，并非自明真理。此后近一个世纪的推敲使非欧几何成长起来，它表明欧氏几何并非普遍真理，更不是其他真理的表率。特别当非欧几何的一类在相对论中得到物理解释之后，欧氏几何就更露出其经验性。克莱因评论说：“非欧几何也可以是物理空间的几何，我们不能再肯定哪门几何一定是正确的。单是还有别的几何存在就已经是一个令人震惊的事实了，然而更令人震惊的是你不再知道哪个是正确的，或者究竟有没有正确的。显然，数学家们将基于有限的经验显得正确的命题作为公理，并错误地相信了它们是自明的。”[15]克莱因把这一过程称为“真理的第一次丧失”。在算术和集合论方面，困窘也接二连三。哈密尔顿的“四元数”表明基本算术法只是局部有效的，而从前它们被认为是绝对自明的。康托尔“实无穷集”的引入，使得例如“全体大于部分”这种分析真理不再可靠。
数学的失根激发了数学基础的清理和构造。奠基运动收获颇丰，但问题也很严重。直觉主义者确立了一些直观上可靠的数学根据，但代价却是把历史上许多有用的数学判定为不合法，这种缺乏包容性的方案真正说来并不能算奠基。逻辑主义者试图从逻辑演绎出算术，形式主义者试图在算术的基础上构建整个数学，然而他们都饱受悖论的困扰。罗素等人设计了一些化解悖论的对策，但对策除了本身仍然可疑而外，效用也相当有限，不足以保证杜绝悖论。罗素曾回顾道：“我在数学里总是希望得到的那种壮丽的确定性消失在不知所措的困惑之中了。”[16]
困惑之中总还是可以怀抱希望的，但这希望在20世纪30年代彻底破灭了。哥德尔的数学—逻辑研究给出了两个惊世骇俗的结论：第一，任何适当丰富的数学形式系统，其一致性不能通过预制的若干公理在系统内部得到证明；第二，一个适当丰富的无矛盾形式系统是不完备的——可以构造至少一个数学命题，其真伪不能在这个系统内得到判定。总之，一致性与完备性互相冲突。换句话说，一个理想的数学系统，所确立的应该都是真理（即一致性），同时，所有数学真理也都应该在其中得到确定（即完备性），哥德尔则证明了，这种历史上被人们想当然地认为数学必定具有的、其它学科应予仿效的完美系统根本无法达到，原因不在于能力欠缺，而在于原则上不可能。
数学表率群学的千年文化形象开始自我消解。数学再也不是统一的，而是有许多不同的数学。像哲学一样，数学陷于出自不同基础假设的学派纷争之中。数学真理再也不是不由分说的了。随着数学真理的实在性、确定性、逻辑性和完备性的丧失殆尽，哲学一向指望于数学的东西也便不复可得。除了题材、哲学家能力限制哲学达到数学的高度外，现在，这种模式本身就包含致命缺陷：偶像并不存在，它是一尊假神。
四、出路
哲学数学化的理想落空了，人类因此丧失的并不是知识和真理，失去的只是一种对知识和真理的过高要求的合理性，一种基础过于狭隘而期望又过于高远的理解方式。这是知识论的危机，不是知识的危机。但理解方式并非不重要，也并非能够轻易改变，这从前面对西方哲学的专题清理可以看得很清楚。强势的态度经常会转变为束缚人的教条。其实，林林总总的知识，其源泉是不尽相同、极为丰富的，这些源泉与人历史性、多样性的生存活动方式相一致。但这些源泉不可能也不可以被同样作为人类活动方式之一的自觉逻辑反思完全同化或翻译，因而靠逻辑整理而自觉到的知识基础总比实际产生知识的土壤更贫乏更狭隘。
这就提醒我们，真理在实际生活中的生长运作是一回事，从有意识的若干抽象条件去逻辑地构建完备的真理则是另一回事。在化解数学崇拜后，貌似沮丧的局面会启发我们要现实地考察现实中被称为真理的东西是如何成为真理的。本文主旨也就在于消解性地敞开一个追问“如何”的出口。
小编按：该文很精彩，但最后三个自然段的结论，私以为作者由哥德尔定理得出的结论，也悲观了些。哥德尔本人恰恰在数学和哲学上都是乐观主义者，他相信人类理性的能力随着进化，会达到另一个高度---他的不完全性定理恰恰是最好的脚注，而不是悲观的预言。
【参考文献】
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