5000年不识N外自然数使康脱推出康健离脱的百年病态集论——证实著名数学、物理学家庞加莱百年前伟大科学预见

5000年不识N外自然数使康脱推出康健离脱的百年病态集论

——证实著名数学、物理学家庞加莱百年前伟大科学预见

                                 黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）

[摘要]数（点）集最起码常识和判断两点集是否≌的全新方法，让几何学有史2300多年来一直未能识的伪≌、伪重合射（直）线一下子暴露出来。医学若将前所未知的“新冠”病毒误为已熟知的流感病毒，后果...；初等数学将前所未知的N外自然数误为已熟知的N内数从而将两异集误为同一集就使康脱推出错上加错的更重大错误：N可～其真子集。不识伪重合射（直）线使初数将前所未知的射（直）线误为已熟知的射（直）线自然就产生出病态的“高深”理论：射线S沿S正向平移变为的S′≌S可是S的真子集；从而使康脱推出更重大错误：S可～其真子集。初等几何最最起码常识:图A=A≌A让5000（2500）年都无人能识的>N（R）一切数的标准无穷大自然数（实数）以及它们的倒数一下子浮出水面，伟大科学家莱布尼茨早就洞察到存在这类无穷数，但一直未能从数的高度上来证明这是科学论断。

[关键词]用而不知的N（R）外“更无理”标准实数；伪≌射（直）线；将无穷多各异假N（R）误为N（R）；至少有两个元点的图A≌A；著名数学家朱梧槚、庞加莱、莱布尼茨

党中央非常重视科普工作。李醒民等编科普书《10个震撼人心的科学发现》中百年集论名列各重大发现之首。有科普书将百年集论誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。然而科普短文《中学数学几百年重大错误：将两异数列误为同一数列——百年病态集论的症结》（见深圳科普网）指出集论是极荒唐谬论，所以“最伟大创造”其实是将歪理邪说误为“高深理论”。集论是统治数学王国的国王，短文将这国王“拉下马”了，但限于篇幅短文不得不漏掉了极为重要的论据，本科普文是对短文的重大补充。教（读）书的科普知识：教（学）而不思是师生的大敌，“一切以标准答案为准”是学风不正的表现。科教工作者应：不唯书不唯上，只唯实。学习前人知识是为了见前人所不能见以创造前所未有的知识（杰出人才的特征），而非为了简单重复前人认识和应付考试。注：现在是互联网时代，俄罗斯一数学家获百万奖的论文只是发表在网上而没在纸质期刊上发表。

1.不能不重视著名数学家朱梧槚、庞加莱的“超人”论断

“最伟大数学家”希尔伯特断言：任何人都不能推翻集合论。然而中国著名数学家朱梧槚教授及肖奚安、杜国平、宫宁生教授却“超人”地洞察到“定义：可与其真子集对等的集称为无穷集”中的“无穷集”“都是自相矛盾的非集^[1]”；换言之，根本不存在可与其真子集对等的无穷集。不少人认为这是与4位数学家身份极不相称的“怪论”。1908年富有远见卓识的世界著名数学家庞加莱提出了著名的“超人”论断：后代人将把康脱的集论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。（见张锦文等《世界数学名题欣赏●连续统假设》20页）。有过人科学洞察力的庞大师也许也“超人”地洞察到集论存在违反逻辑学常识的自相矛盾，清醒坚信：凡违反真正常识的理论必是对科学危害极大的病态理论。

2.图说数集最起码常识凸显“R各元x的对应数x+1的全体是R”是中学数学几百年重大错误

初等几何2300年“最起码常识”：有无穷多个公共点的直线必重合。据此有初中几何的直线公理即希尔伯特的《几何基础》中的公理（有书“证明”这是定理）：过空间两异位置点有且只能有一条直线。继而有……。直线A有两异元点a和b，另一直线≠A经运动变为通过a和b的直线B，据直线公理A=B，于是有“定理”：凡直（射）线必≌。

设集A=｛x｝表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A；F=｛x、y｝=｛x｝∪｛y｝=U∪V表F各元均由x或y代表，相应变量x（y）的变域是U（V），其余类推。变数n取自然数。挖去“自然数集”N=｛n≥0｝的0得N⁺=｛n≥1｝⊂N。“实数集”R所有非负元x≥0组成R⁺。R⊃N各元x均有对应标准实数x+1、2x、xⁿ（n≥2）等等。同一字母x可代表各不同的数，同样为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集，其余类推。

本文中集合均至少有两元。定义：若数集A可保距变为B则称A≌B。显然A≌A。可将本文中关于图形的论述全部去掉（即可没点与点集概念）而不作任何几何解释地仅凭数（数组）集相等、≌的定义证明两集是否相等是否≌。

数（点）集最起码常识：若A（B）各元x（y）有与之对应相等的元y（x）∈B（A）即A各元与B各元可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应）则称A=B；若可一一对应近似相等则A≈B。若点集A与B各元点可一一对应重合则称A=B。本文最关键论据之一：若A与B是同一集则A必可（不是“只可”）恒等变换地变为B=A。

天体力学中的地球可是质点。与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0），此x变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+δ还在管道g内即实数的改变可形象化为g内质点的位置的改变（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的点是同一点）。R可形象化为R轴, R各数x可形象化为R轴各点，变数可形象化为g内动点。

a=0.0001≈0,R各元x保距变为y=x+a≈x+0组成｛y｝（y的值域）的几何意义是R轴各元点x沿管道g保距平移变为点x+δ=y=x+a组成元为点y的y=x+a轴即R轴沿轴平移变为y=x+a轴叠压在x轴上。中学数学认定y轴=x轴（自有函数和无穷集概念几百年来数学一直有函数“常识”：R各元x的对应数x+a的全体是R），因有直线公理。其实这是肉眼直观错觉。显然R各元x只可与各对应数x+a∈｛y｝中的x一一对应相等而与各x+a≈x本身一一对应近似相等：x↔x+a≈x。在平移变换：x↔x+a（↔两边的x是同一x）中当且仅当a=0时才是恒等变换（a≈0时是近似恒等变换）。

各x变为y=x（y≈x）是恒等（近似恒等）变换；因“≈”与“=”不能同时成立故x轴近似恒等变换地变为y=x+a（≈x）轴≠x轴，即x轴各点x与y轴各点y=x+a不可一一对应重合。在平移运动中显然当且仅当平移的距离=0时才是恒等变换。其实“对R从小到大一个不漏的每一（一切）元x都有对应数y=x+a>x”明确表示有数y（∈y=x+a轴）>R一切数x而不可与R任何元x对应相等（严格证明见第5节）。关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含意。可见数集相等及近似相等概念表明x轴沿轴平移变为y=x+c（c是正常数）轴≠x轴，当平移的距离≈0时y轴≈x轴。当然肉眼不可察觉此事实，但下文使人凭肉眼就能察觉。

有共同横坐标的点（x，y）与点（x，y′≈y）近似重合。xy平面的x轴各点（x，0）均有两对应点：点（x，y=x）∈直线y=x和点（x，y=x+a）∈直线y=x+a≈x，所有对应点组成平面直线：y=x（y 的变域是R）和y=x+a≈x，这两线近似重合的原因是：两线各有共同横坐标x的点的纵坐标y=x与y=x+a≈x一一对应近似相等；显然若一一对应相等则两线必重合，故其不重合形象直观地说明R各元x与各对应y=x+a不可一一对应相等。将y=x+a换为y=x+1就形象直观地说明各x与各对应x+1不可一一对应相等。详论见[2]。第4、5节证明了有正数x∈R的对应数x+1“更无理”地>R一切数x。

图：○→○表示圆盘A平移非0距离变为新圆盘B≌A，显然当且仅当平移的距离=0时才是恒等变换。所以应有：

h几何起码常识:至少有两个元点的图A平移非0距离变为B（≌A）必≠A（因A不可恒等变换地变为B）——推翻直线公理。据此常识x轴即R轴沿本身平移非0距离|c|变为y=x+c轴≠x轴可变为无穷多各异直线相互叠压在一起形成平行直线丛；而直线公理使中学几百年解析几何一直只识其中的一条直线且将无穷多各异线（数轴）误为同一线（轴）：x轴。进而将无穷多各异平面（空间体）误为同一点集。注：平面（空间体）由无穷多相互∥的直线（平面）组成。

可见h几何起码常识使2300（300）年初等几何（解析几何）一直未能识的伪重合直（射）线一下子露出原形。

3.数学大师莱布尼茨洞察到客观存在无穷小、大数但一直只有感性认识

数学史表明没无穷数就没高等数学，正如没数学就没物理学一样。有过人科学洞察力的莱布尼茨在其科学实践中深深体会到:“虽然人们经常使用的只是通常的数，并没有引进任何无限小或分母无限大的数，但它们却是同时存在的^[3]”百年极限论之前的二千多年数学一直“非法”使用无穷大、小数进行计算推理从而取得一系列辉煌成就（“实践是检验真理的标准”），但对这类未能引进但又一直使用的“黑数”一直无力实现由感性认识到理性认识的飞跃而一直解不开为何“用'不存在’的'数’进行推理计算竟能使莱布尼茨及数学得到一系列正确结果”谜团，正如西医无法解开：人体“不存在”经络系统，但经千百年实践检验的中医的经络学说却为何行之极有效这一谜团一样。伟大科学家的太伟大实践往往要超前理论千百年。经千百年实践检验的中医学因还处于理论上还说不清的唯象论阶段故有人说其是伪科学，因不能从理论的高度上来说清楚存在无穷小、大数使标准分析否定存在这类数。下节证明标准分析一直在使用R外标准无穷小、大正数，只不过一直将其误为∈R罢了，正如群众将便衣警察误为非警察一样；没这些“非警察”(标准无穷小、大正数) 就没社会的平安（没标准分析）。

4.图A≌A让中学生也能一下子认识5000（2500）年都无人能识的N(R)外标准无穷大自然数（实数）

“无界”的曲、直线互不≌从而更不相等。数学图形可是离散的点的点集。“无界”的“整数点集”Z={...，-2，-1，0，1，2，...（各数是数轴上点的坐标）}(可看成是“虚直线”：.......)各元点x=±n（n∈N）∈R轴不保距平移变为点x+δ=2x=±2n组成｛±2n｝(虚直线)不≌Z从而更≠Z。

h定理1：数（点）集A=B的必要条件是A≌B(这是[4]中的h定理3)。

证：A=B必可恒等变换地变为B=A≌A，而恒等变换是保距变换，所以B=A的必要条件是B≌A。注：若点集B=A≌A则B与A大小与形状都相同即B≌A。证毕。

有人体穴位图A和B，A（B）中各穴位P（P′）到太阳穴P₀ (P₀′)的距离是变数ρ（ρ′）≥0，若B≌A则显然ρ′与ρ必是同一变数，P₀与P₀′互为合同对应穴。文[2]有一判断两点集是否≌的新方法：

h定理2：若点集A各元点x保距变为点y（x）生成B=｛y（x）｝≌A则A各点x到A任一固定点x₀的距离ρ=|x-x₀|=ρ′=|y（x）-y₀（x₀）|=B各元点y（x）到点y₀（x₀）（点y₀与点x₀互为合同对应点）的距离，即ρ′与ρ是同一距离函数。同理A与B≌A可是二、三维空间点集，…。

证：由A≌B的定义ρ′=ρ。同理…。证毕。

要注意水平闭直线段A≌B且A∥B中A的左端点与B的左端点不一定是合同对应点，将非合同对应点误为合同对应点就会得错误的结果。将黑色射线A的起点涂成红色点，A保距变换为B（≌A）中的红点与A的红点互为合同对应点。现有数学中的射线均没有作“绕其中心点旋转180°”的变换，故若射线A≌B则A与B的起点必互为合同对应点。

点集N=｛0，1，2，...，n≥0，...｝⊂x轴可看成是“虚射线”：........，N有子部虚射线N⁺=｛1，2，...，n≥1，...｝⊂N。虚射线N各元点x=n≥0保距平移变为点x+δ=y=n+1组成H=｛y=n+1≥1｝即图N沿x轴平移变成H≌N。自有无穷数列概念几百年来数学一直认定N⁺=H≌H。假设射线N⁺≌H=｛1，2，...，n+1≥1，...｝成立则N⁺与H的起点必互为合同对应点，据h定理2相应的距离ρ=ρ′；然而N⁺各点n≥1到N⁺的起点n=1的距离ρ=|n-1|（n≥1，n-1≥0）= n-1≥0，H各点n+1≥1到H的起点n+1=1的距离ρ′=|n+1-1=n|=n≥0（n+1≥1）；ρ′≠ρ（ρ′的定义域是n≥0的变域N，ρ的定义域是n≥1的变域N⁺）说明假设不成立即N⁺不≌H。据h定理1N⁺≠H。初数几百年“H=N⁺⊂N”使康脱推出病态的：N～H=N⁺⊂N。

x轴即R轴有两子部射线：x≥0（即射线R⁺）和射线S⊂R⁺：x≥1。R⁺沿R轴平移距离1变为元是点y=x+1≥1（x≥0）的射线S′（～R⁺）：y=x+1≥1与S“重合”。假设S={x≥1}=S′={x+1≥1}≌S′成立则射线S与S′的起点互为合同对应点，据h定理2相应的距离ρ=ρ′；然而S各点x≥1到S的起点x=1的距离ρ=|x-1|（x≥1，x-1≥0）=x-1≥0（x≥1），S′各点x+1≥1到S′的起点x+1=1的距离ρ′=|x+1-1|=x≥0（x+1≥1）；ρ′≠ρ说明假设不成立即S′不≌S。据h定理1S′≠S。所以中学几百年“常识”：“S=S′～R⁺”是肉眼直观错觉；这错觉使康脱推出病态“定理”：R⁺～S⊂R⁺。据≌图概念，形状相同但互不≌的S与S′必大小即长度不同，严格证明见下节。读者画出S⊂R⁺、R⁺～S′的图像可一眼看出它们有不同的长度即射线S⊂R⁺比射线R⁺～S′短（几何学有史2300多年来一直不知有长度不同的射线）。严格证明见第5节。关键是平移运动不能改变射线的长度。“真理都是很朴实的。

有山区文盲老太太不知世上有说外语的外国人使其说外国人“不会说人话是鬼佬”，有人说：一个数变为一个数是变换而一数变为多个数就不是变换——说明其还根本不懂什么是数学变换，虽然其可能是数学考试高手。保距对应是“一对一”的对应，“一对多”的对应不是保距对应使相应的像与原像不≌。N各n的对应数n+1的全体组成H=｛n+1｝。如[5]所述，N=｛n｝各点n有两个对应点：n、y=n+1>n，所有对应点生成J={n、n+1}=｛n｝∪｛y=n+1｝=N∪H，这非保距变换使J不≌N（这变换等价于图N先平移成H≌N，然后H与N 合并成J。），据h定理1J≠N。有人说因N⁺=H故N∪H=N∪N⁺=N≌N即这“一变二”还是保距变换，显然这是因不懂保距变换概念而犯的错误。包含N的J=N∪H≠N说明J必至少有一元y∈H在N外，这N外的y=y₀=n₀+1>n₀∈N显然>N一切数n，式中n₀=Ω是N最大元，因其后继y₀在N外。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的N内、外标准无穷大自然数，人类认识自然数后的5000年里一直无人能证明存在此类与1相隔无穷多个自然数的标准无穷大自然数。发现Ω说明N的任何真子集的元都必少于N的元。详论见[6][7]。其实y=n+1>n=0，1，2，...（数列N）一目了然地显示y可>N一切数n而取N外数。初等数学的“对N（R）一个不漏的每一（一切）元n（x）都有同∈N（R）的对应数n+1（x+1）>n（x）”显然是病句：N（R）有元n+1（x+1）>N（R）一切元n（x）；从而使康脱推出病上加病的...。注！庞加莱百年前就预言：后代人将把康脱的集论当作一种疾病。

同理，R=｛x｝各元x变为两个数：x、y=x+1>x生成包含R的F={x、y=x+1}=R∪｛y=x+1｝不≌R中必至少有一元y=x+1>x∈R在R外而>R一切元x，若将此R外数记为σ则σ和σ+1等等及其倒数均是标准分析一直用而不知的标准无穷大、小正数，确如伟大的莱布尼茨所说:它们与R内有穷数是同时存在的。人类认识无理数后的2500年里一直无人能从数、数量关系的高度上来证明存在此类“更无理”数。初数一直将R外数误为R内数。

注：N有偶数n=2p和奇数n=2p+1，“N各数n（=2p、2p+1）变为两个数：n=2p、n=2p+1”其实是n变回自己；......。N各元n变为两个数：2n、2n+1生成N′={2n、2n+1}=｛2n｝∪｛2n+1｝不≌N，据h定理1N′≠N。所以N′是似是而非的假N。由此可见自有无穷数列概念几百年来数学一直将无穷多各异假N误为N。

5.几何学有史2300多年来一直不知有长度不同的直（射）线

h定理3：数集A各元x可变大（小）为y（x）>（<）x组成的B=｛y｝必有元在A外而>（<）A一切元x使B≠A且B不⊂A。

证1（见已在“预印本”上公布的黄小宁的相应长文）：A=｛x｝各元x变为两个数：x、y≠x组成C=｛x、y｝={x}∪{y}=A∪B不是保距变换使C不≌A，据h定理1C≠A；包含A的C=A∪B≠A说明C中的B⊂C必至少有一元∈C在A外。

证2：“对A一个不漏的每一（一切）元x都有对应数y（x）>（<）x”明确表示有数y（∈B）>（<）A一切元x。关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含意。问题是不少人为了考试得高分而扼杀自己的正常思维能力。能否认识一字那么浅的重大学术真相的关键不在智力因素而在非智力因素：是否敢做说光身皇帝光身的那个“无知小孩”。证毕。

第2节中x轴平移变为的y=x+a轴（≌x轴）有射线Θ={y=x+a≥0}⊂y轴，Θ各元y≥0变为-y组成Ψ={-y}即射线Θ={y≥0}绕其起点y=x+a=0旋转180°变为射线Ψ={-y}≌Θ，Θ与Ψ组成直线（数轴）C=Θ∪Ψ={y≥0}∪{-y}={±y|y≥0}。保距变换将x轴的对称中心点变为其像的对称中心点。假设“C={±y|y≥0}≌x轴”成立则C的中心与x轴的中心互为合同对应点，据h定理2相应的距离ρ=ρ′；然而C各点±y到C的中心±y=0的距离ρ=|±y-0|（y≥0）=|y|=y=x+a≥0（x≥-a）≠ρ′=|x|≥0（x轴各点x 到x轴的中心x=0的距离ρ′=|x-0|）说明假设不成立即C不≌x轴。据h定理1C≠x轴。所以“凡直（射）线必≌”是被假象迷惑的肉眼直观错觉。由h定理2易证直线A若有对称中心则 A的中心只有一个，而非“A的任何点都可是其中心”。据≌图概念，形状相同但互不≌的C与x轴必大小即长度不同。

y=x+a轴叠压在x轴即R轴上。R所有正数组成的A各元x>0变大为y=x+a>x>0组成B={y}，据h定理3B必至少有一元y=x+a=t>x在A外而>A一切元x>0，显然t是>R一切元x的标准无穷大正数，-t是<R一切元x的负数。存在R轴外的正数点y=x+a=t∈射线Θ={y=x+a≥0}⊂直线C=Θ∪Ψ说明C是比R轴（≌y=x+a轴）长的直线（均由标准实数点组成）！

据h定理3N各元n变大为n+1组成的H=｛n+1｝必有元在N外是“更无理”的标准无穷大自然数而>N一切数n。据h定理3R⁺各元x≥0保距变大为y=x+1组成的S′=｛y=x+1｝必至少有一元y=t″在R⁺外而>R⁺一切元。显然t″是>R一切元x的标准无穷大正数，这说明射线R⁺各元点x≥0沿R轴方向平移到新位置的各点y=x+1≥1中必有点y=t″∈S′“刺破天”地突出在R⁺外推翻百年“R完备、封闭”论及“R轴各点与各标准实数一一对应定理”，从而表明上节射线S′（不≌S）～R⁺的长度>射线S⊂R⁺的长度。

详论见已在“预印本”上公布的黄小宁的相应长文，也可见拙文《3000年不识伪≌直线段使中学数学有一系列重大错误——看图识5000年都无人能识的无穷大自然数∈N》http://www.360doc.com/content/20/0729/18/70996036_927464071.shtml，

6.结束语

“肉眼”数学因目光太短浅、视野太狭窄从而一直被无穷对象中的假象迷惑。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造5千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：从“肉眼”数学一下子突变成科学慧眼数学。王前：“当代数学大师陈省身先生曾预言:21世纪将是中国数学界在世界上发挥重大影响的世纪^[8]”。

参考文献

[1]朱梧槚、肖奚安、杜国平、宫宁生。关于无穷集合概念的不相容性问题的研究[J]，南京邮电大学学报(自然版)，2006（6）。

[2]黄小宁。初等数学2300年之重大错误：将无穷多各异点集误为同一集——让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的直线段[J]，考试周刊，2018（71）:58。

[3][美]鲁滨逊著，申又枨等译。非标准分析[M]，北京：科学出版社,1980:30。

[4]黄小宁。不等式、集合、几何起码常识凸显课本一系列重大错误——让2300年都无人能识的直线段一下子暴露出来[J]，数学学习与研究，2016（5）:151。

[5]黄小宁。几何、集合起码常识暴露中学数学一系列重大错误——几何起码常识让5千年都无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，科技视界，2016（3）：92。

[6]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。

[7]黄小宁。初等数学各常识凸显中学数学有一系列重大错误——“一一配对”让中学生也能一下子认识5千年无人能识的自然数[J]，课程教育研究，2017（50）：107。

[8]王前。探索数学的生命：哲人科学家大卫·希尔伯特[M]，福州：福建教育出版社：1996：188。

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