1. 从宏观去把握问题的结构特征、总结常见结构的常见处理方式
无论是从“数”还是“形”的方式呈现,都会呈现出相应的结构,而对于这些结构,又有着相应的处理方式,甚至有着特殊的、较为优化的处理方式。有些结构是“显性”的,有些结构却不那么明显。一定的组合方式,往往也蕴含着某种特殊关系。要在平时的解题中去总结和积累。
比如:在三角形中, sinB + sin(C - A) = 2sin2A, 利用内角和定理,把 sinB 改造为sin(C + A),打开即可;数列的递推关系式,估计大家都总结了不同的结构和相应的处理方法;在立体几何中,看到等腰三角形和中点,想到三线合一;看到立体几何题目中边的信息很多,考虑勾股定理证垂直;求零点之和或函数值之和,常常考查函数的对称性等等。
2. 精确区分问题特征
问题的表述,常常也也会以某种方式来呈现,有些看似相似叙述方式,但又大相径庭的处理,应该精准地理解和区别。以函数为例:
很多学生因为此题可以转化为两个函数,证一个函数最小值大于另外一个函数最大值,常常不假思索地认为下面的例 4 也可以。
二、微观抓关键
我们经常感叹于政治家和军事家整个战争的格局,站得高,视野更广阔、格局更大;我们也经常佩服侦福尔摩斯、柯兰和神探狄仁杰等等,他们“窥一斑可见全豹”,把一些大家忽略的细节分析得淋漓尽致。其实很多条件,都蕴含着无穷信息,比如给一个函数,就给了这个函数在定义域内的所有取值,图像对称,微观角度来说就是点的对称。看到一个条件,既要从宏观去把握结构,还要从微观深入细致地分析。
1. 找准问题的关键点——问题的突破口
我们是从“点”上来突破,所以解题要有一个着力点,这个点往往就是问题的关键点,比如无论是由解析式或实际问题选择函数图像,还是有图像求解析式,常常从极值点、最高点、最低点、定点、端点、零点、与纵坐标的交点等等上来突破。给了函数,其实也就给了函数所有的函数值,比如不等式恒成立问题求参数范围,我们常常可以根据端点值成立去缩小参数的范围,有时候也可以根据某个特殊函数值,找到突破口,如果从“形”的运动变化角度来分析,特殊位置就是重要的突破口。比如:
2. 用红色的笔突出关键信息
有些信息会多次用到,用红色的笔圈出来,在不自觉中就会关注到。比如立体几何中线面垂直就是一个关键信息,在证明垂直的时候,常常需要用到垂直之间的转化,求线面角或二面角的时候,要先去找面的垂线。如:
3. 圈出容易遗忘的重要信息
在分类讨论之前,要注意题目中参数是否有范围的限制,在解三角形中,容易忽略锐角这个限制条件,这些信息在读题的过程中,就应该圈出来,提示自己注意。解决有图形的问题,应该把条件标到图中,有时候,我们做不出来,往往就是因为忽略了某个条件。
要准确记忆特殊角的三角函数值,和相应的很多跟数字有关的重要结论。概率统计题中,常常可以借助图或表列出重要信息,进行分析。从形和数不同的角度去理解,注意把问题进行转化,化归为简单的、熟悉的问题。
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