第40讲：方程与函数思想（中）

方程思想——未知的并不可怕！

所谓方程思想就是从问题中发现或者构造等量关系，恰当引入未知量，寻找已知量与未知量的等量关系，列方程或方程组，通过解方程或方程组而使问题获解的解题方法.

应用方程思想解决问题的常见途径有：

1．引入字母，把代数式的化简求值问题转化为方程或方程组问题来解；

2．突出主元，把等式看作是其中某个字母的方程，将问题转化为方程或方程组问题来探讨；

3．构造一元二次方程，利用求根公式、根的判别式、根与系数的关系等知识，求解代数式的相关问题；

4．列方程、方程组解应用题；

5．通过列方程或方程组解几何计算题，把几何问题代数化．

17世纪，法国数学家笛卡尔曾有过一个伟大的设想：把所有问题→数学问题→代数问题方程问题．

虽然笛卡尔的理想在他的一生中未能实现，但随着计算机的广泛应用，人们已经越来越体验到方程思想的重要性．

构造一元二次方程是方程思想解题最重要的途径，在代数式的化简求值、求字母取值范围、探求最值等方面有广泛的应用．常用的构造方法有：

①用根的定义构造；

②用韦达定理的逆定理构造；

③对于含有多个字母的变元等式问题，把等式整理为关于某个字母的一元二次方程.

函数思想——运动与变化

所谓函数思想，就是用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种关系表示出来，运用函数的概念和性质去分析问题、解决问题.

函数思想在解决问题中有以下几个方面的应用：

1．利用函数图象解决问题；

2．用函数的观点研究方程（组）、不等式（组）的解；

3．建立目标函数，运用函数的性质去解决问题.

方程与函数有着深刻的内在联系，这种联系体现在：方程的解是对应的函数图象交点的横坐标．函数图象的直观性，使得我们对方程的理解有了一种新的途径，

函数是初中数学的主要内容，有正比例函数、反比例函数、一次函次和二次函数，要研究它们的性质和图象．函数的思想方法就是用变化运动的观点来观察、分析问题．

应熟悉以下基本问题：

① 常见函数的性质、图象、画法；

② 常见函数的图象与该函数的解析式中各个系数的符号的关系；

③ 确定常见函数解析式的方法；函数与方程（组）的联系.