第30讲：《定积分的物理应用》内容小结、课件与典型例题与练习

数学与物理是一对孪生兄弟，有时候数学是依仗物理发展而发展，反过来，物理发展又以数学作为基础和工具，微积分的发明就是从几何和物理两个方向展开的（分别由莱布尼兹和牛顿完成）。因而积分在物理上的应用不胜枚举。
一、定积分建模适用的问题类型
能用定积分模型描述的量的特征：
(1) 所求的量的大小可以由一个一元函数及其定义区间决定，即是一个分布在区间上的量；
(2) 所求量具有对区间的可加性：分布在区间上的总量等于分布在各子区间上的部分量之和，即通过分割区间可以将总量分割为部分量，并且各部分量的和等于总量.
二、用“微元法”构建定积分模型的基本步骤
用“微元法”(或称为“元素法”) 构建定积分模型的基本步骤概括为十个字：“分割取近似、作和求极限”，具体步骤如下：
1、定型
依据能用定积分模型描述的问题特征，判定所求量是否能用定积分模型描述，即是否适合使用定积分模型求解.
2、定线
将所求量分布到一条有限长度的线段上，使得可以通过对线段的分割，实现对所求量的分割。量的分割方式可以就为线段上的点(如果量直接分布在线上)；也可以通过在线段上取点，做垂直于线段的直线（分布在平面上的量）或者垂直于线段的平面（分部在空间中的量）实现对所求量的分割.
【注】线段的选取不唯一，也不一定为直线，可以是曲线，比如圆弧.
3、定限
在选取的线段上，指定适当位置为原点和一个方向，建立数轴（或为坐标系中的一个坐标轴，极坐标系中可以为极轴，也可以为一个同心圆弧），确定线段在数轴上占有的区间范围（即所求量就分布在对应的线段上，或者分布在过两点垂直于数轴的两直线或两平面之间）， 即为定积分的积分区间.
4、分割取近似
在确定使用的变量范围内，任取 ，给一个增量 ，则在两端点 位置采用合适方式（点分割、线分割、面分割）分割总量，并用 位置确定所求量大小的属性近似代替小区间内对应部分量的整体属性(如高、密度、浓度、速度、力、距离、截面积等)，然后采取“以直代曲、以不变代变”，将不规则问题规则化（即曲边用直角边代替、变属性用常属性代替）”的近似方式，将分布小区间 上的部分量 为近似描述一个关于 的函数与增量 的乘积，即
5、作和求极限
以为积分限，为被积表达式，写出总量计算的积分模型，即
6、计算
计算定积分得到结果.
【注1】：如果对于整个区间不能建立统一的被积表达式，可以考虑对区间进行分割，分成几个区间分别重复“元素法”的步骤建立积分模型，分别计算定积分，然后借助量的可加性，求和得到最终的总量。
【注2】定积分只能是数量（标量）的求和，因此对于矢量的计算应该分解为标量，即分别对不同方向上的量进行计算来处理，比如平面上物体间引力的计算，可以建立适当平面直角坐标系后，将量分解为轴和轴方向分别计算，最终力即为两个方向力的合力.
【注3】：以上步骤主要适用于直角坐标系，对于分部在圆弧上的量的计算，可以考虑极坐标系上处理，这个时候考虑的变量范围可以为圆弧分布的圆心角，而分割，则可以为从圆心出发的射线分割总量为部分量. 比如求圆心角为 ，半径为 ，线密度为的圆弧形物体的质量，则变量的范围可以直接取为或 等，且
该题可以通过分割圆心角范围，计算对应小段的弧长，并用 位置的密度代替小弧段的线密度，从而得到相应小弧段的质量近似计算公式，然后在 的范围上积分得到最终结果.
基于数学软件的不定积分、定积分的计算与近似数值计算方法，以及计算结果正确性、有效性的验证，可以参见如下的两个推文：
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