中考数学压轴题分析：45°角有关的问题

前面辽宁地区的题目介绍的差不多了。现在进入内蒙古地区的题目。前面一篇内容介绍的是45度角有关的问题，本文内容选自2020年包头中考数学压轴题，仍然是和45°有关的问题，不过涉及角度和差了。不妨继续研究一下。

【中考真题】

（2020·包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与轴正半轴交于点，该抛物线的顶点为，直线经过点，与轴交于点，连接．
（1）求的值及点的坐标；
（2）将直线向下平移，得到过点的直线，且与轴负半轴交于点，取点，连接，求证：；
（3）点是线段上一动点，点是线段上一动点，连接，线段的延长线与线段交于点．当时，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

题（1）求b的值则代入点A的坐标，求M的值直接用顶点坐标公式即可，属于基础题。

题（2）涉及了直线的平移，平移过程中保持平行，那么k不变，所以m的值就知道了。再代入点M的坐标即可得到n的值。此时就可以得到x轴的交点C的坐标。本题的结论是证明∠ADM-∠ACM=45°，那么关键还是需要画图。

画好图之后，我们可以发现∠ADM其实是三角形CDM的外角，也就是说只需要证明∠DMC是45°，结论就处理啊了。可以过点D作DH⊥CM，得到一个直角三角形，构造三垂直，然后证明是等腰直角三角形即可。

题（3）则没有上题中的平移了。题目的关键是∠BEF=2∠BAO，那么还是需要画图才能分析。

还是发现∠BEF是三角形AEF的外角，既然存在倍半关系，那么可以得到三角形AEF是等腰三角形且AE=EF，再根据3GF=4EF这个比例关系可以考虑利用相似进行求解。设点E的坐标表示出点H的坐标，然后代入到OM的解析式中即可得到结论。

【答案】（1）解：对于抛物线，令，得到，
解得或6，
，
直线经过点，
，
，
，
．
（2）证明：如图1中，设平移后的直线的解析式．

平移后的直线经过，
，
，
平移后的直线的解析式为，
过点作于，
则直线的解析式为，
由，解得，
，
，，
，，
．
，
，
．

（3）解：如图2中，过点作于，过点作于．

，，
，
，，
，
，
，设，，
则，，，
，
，
，，，
，
，．