2020普林斯顿数学竞赛 (PUMAC) 个人赛决赛 中文翻译

这个考试本应于2020年12月初举办，由于疫情推迟至2021年3月进行。

A组

1.实数列的首项,且满足.
求证: .

2.海伦有一个木制的矩形(尺寸未知),一把直尺(没有刻度)和一支笔. 她能否构造一条线段, 使这条线段的端点为矩形的一组对边的中点?且在作图过程中, 海伦只能在矩形内部作图.
注: 海伦可以标记任意两个直线的交点, 也可以用直线连接任意两个标记过的点.当然, 她可以在直线上标记任意一点,或者矩形边上的任意一点. 假设矩形的四个顶点已经标记过了.

3.给定正整数. 已知为集合的一个子集族, 使得对任意的非空集合 , 一定存在,使得 且 . 若  包含的所有 个元素, 求的最小值.

B组

1.求所有满足以下条件的正整数 :
对任意一个的网格表, 在其每个单元格上写上一个整数,一定存在一条从左至右的路径, 使得这条路径上的所有单元格中的数之和为的倍数.
注: 一条从左至右的路径是指, 一系列单元格, 其中 在最左边那列,  在最右边那列, 且对任意 , 有公共边.

2.求满足以下条件的所有正整数:
对任意素数, 一定存在整数, 使得 , 且的余数不超过 .

3.在中, 在射线上分别取点, 使得共圆. 证明以下两个命题等价:
在的外接圆上存在一点, 使得的外接圆与的外接圆相切.
设 为的外接圆半径, 则.