第06讲：《空间曲面及其方程(二)》内容小结、课件与典型例题与练习

一、柱面及其方程

平行定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹称为柱面. 定曲线称为准线，直线称为母线. 准线与母线不唯一. 

  • 以平行于坐标轴的直线为母线的柱面方程为由两个变量描述的方程，即在空间直角坐标系中，由两个变量描述的方程

都表示母线平行于其不包含的变量对应的坐标轴的柱面.

  • 平面是一类特殊的柱面.

二、锥面及其方程

在空间，通过一定点且与定曲线（定点在曲线外）相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面．直线称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线．

  • 锥面由它的顶点和准线唯一确定，准线不唯一且所有母线都相交于顶点．

  • 圆锥面是旋转曲面，它的准线可以取为垂直于旋转轴的圆；同时，圆锥面也可以看成是由所有经过顶点，并与中心轴成相同角度的直线形成的曲面．

三、直纹面

由一族直线所形成的曲面称为直纹面．比如，柱面、单叶双曲面、双曲抛物面、锥面都可以由直线生成，所以它们的图形都为直纹面图形．

一般直纹面方程可以分解为相等的两两一次项或零次项乘积．比如单叶双曲面方程

因此，根据比例关系，可以将上述等式用如下两个式子来描述

其中u,v为实数．上面两组方程表示的都是直线，当u,v取不同的值时，构成不同的直线，所有这样的直线构成的直线族描述单叶双曲面的图形．

四、常见二次曲面及其标准方程

三元二次方程(二次项系数不全为 0 )

所描述的图形通常为二次曲面.

基本的二次曲面类型有: 椭球面(特殊情况为旋转椭球面、球面)、抛物面(椭圆抛物面、双曲抛物面，特殊为旋转抛物面)、双曲面(双叶双曲面、单叶双曲面，特殊为旋转双曲面)、锥面(圆锥面). 适当选取直角坐标系，或者通过坐标的平移、旋转变换可得它们的标准方程.

【注】：对于教材、课件中列出的二次曲面的标准方程结构和几何图形特征要非常熟悉，尤其与坐标轴、坐标面的位置关系要非常清楚！看到方程要能够想到图形，看到相应的图形名称，要能够直接写出相应结构的方程.

图形绘制方法参见推文：

参考课件

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