为什么真正聪明的人，都是概率高手？（深度好文 ！）
追问“为什么”，是概率计算的“第一性原理”，一旦做到了这一点，你就是真正聪明的概率高手。
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懂概率的3个层级
懂得概率的人，才是真正聪明的人。
因为这个世界，不管是世俗层面，还是宇宙层面，都是依照概率运行的。
至少，概率包裹着人类的无知的最外面那一层。
然而，这个世界上极少有人真的懂概率。
我把“懂概率”分为3个层级：
层级一：懂概率计算；
层级二：懂概率思考；
层级三：懂概率行动。
这三个层级未必是递进的关系。
a、你是概率计算高手，也会艰深的概率思考，但未必一定是个概率行动高手。即使天才如凯恩斯，也是历经多年磨难，才最终跻身“层级3”。
b、有些人压根儿不会基本的概率计算，也不知道什么叫概率思维，但天生就是概率行动高手。例如那些德州扑克高手，交易员鬼才等等。
这或者是因为他们小时候的生活环境是个天然的概率训练场，或者是因为大脑本身就是一个概率机器。
有多少人懂得概率计算？
大约1%吧，实话说可能更少。
懂得概率计算的人里，有多少人懂得概率思考？
再来个1%。
懂得概率思考的人里，有多少人懂得概率行动？
还是1%吧。
不过，这么一算，全世界没多少人真正懂得概率行动了，而且这样计算也违背了我上面所说的，有些人天生就会概率行动而无需会计算。
所以，修正一下，把后面的两个1%改成10%，于是可以得出，有意识的概率行动者，大约万分之一。
也就是说，在千万级人口的城市里，有几千个“概率高手”。
你可能会说，不对吧，北上广深这些千万人口城市，每个地方光是亿万富翁都不止几千个吧？
有钱人虽然多，但很多只是靠运气，属于“随机漫步的傻瓜”，而非概率高手。
2
层级一：概率计算
假如想应对这个世界上的不确定性，与随机性共舞，你必须懂得概率计算。
那么，一个普通人到底要掌握多少概率公式，才够用呢？
我的答案是：零。
没错，你一个公式都不用记，爱因斯坦说：
“科学知识不是大量莫名其妙的结论，它是每个人按照正确的思维方式自己应当并且也能够推导出的结论。学习科学的过程，就是自己得出这个结论的过程。”
概率的公式本来就很简单，假如你能够拆掉这些公式，自己从头推导，你就永远不用去记这些公式。
对于那些熟悉概率公式的人，我也建议你一起来一次“从头推导”，这样你就会发现，几乎可以解决所有的“难度达到硅谷面试题级别”的概率趣题，绝对横扫“俗人圈儿”。
如何从头推导？
我想和你分享的是“平行宇宙法”。
比方说，我们扔一个标准的六面骰子，众所周知，你得到任何一个面的可能性都是1/6。
但是很多人即使懂得这个简单的道理，也没法从感官上理解，他会想：骰子落地，只会100%是某个数字，1/6有什么意义呢？
就像我有次和一个朋友聊特斯拉电动车的自燃率，我告诉他根据行驶里程，特斯拉官方公布的自燃率比燃油车低500%。
这个朋友说：“不管你特斯拉总的自燃比例有多低，（一旦发生）对任何一个车主而言就是100%……电动车自燃也许是小概率事件，但对涉事车主来说，却是百分百的噩耗。”
这就是聪明的概率无知者。
其实特斯拉的说法也有漏洞，因为他们应该和同等车龄同等级别的车对比，才够公平，不过，这个就是更聪明的人才能提出的问题了。
回到我们的“平行宇宙法”。
一个骰子在你扔出的瞬间，现有的宇宙分裂成了6个平行宇宙，如下：
所以，尽管现实中，看起来骰子落地的时候，只会是某个确定的一面朝上，但是当你（不作弊地）随机扔出骰子的时候，骰子的未来就分裂成了6个平行宇宙，分别是骰子落地之后的6个结果：1，2，3，4，5，6。
但是，我们的现实，只能选择6个宇宙中的一个。
因为标准骰子的六个面是一样的，所以6个宇宙平分了“未来的可能性”。
所以某一面出现的可能性，也就是概率，是1/6。
那么，扔一个骰子，得到偶数的概率是多少呢？
把2、4、6三个平行宇宙的三个1/6加起来，等于1/2。
懂得概率计算的人，一定会对我如此啰嗦表示不屑，请坚持一下，再往下看。
3
平行宇宙论
“平行宇宙论”，也叫多重宇宙论，或者叫多元宇宙论，指的是一种在物理学里尚未证实的假说。
在我们的宇宙之外，很可能还存在着其他的宇宙，而这些宇宙是宇宙的可能状态的一种反应，这些宇宙可能其基本物理常数和我们所认知的宇宙相同，也可能不同。
“多重宇宙”这个名词，是由美国哲学家与心理学家威廉·詹姆士在1895年所提出的。
平行宇宙经常被用以说明，一个事件不同的过程或一个不同的决定的后续发展，是存在于不同的平行宇宙中的。（以上来自维基百科）
我个人对平行宇宙的理论不太感冒，但觉得用它来描述概率，非常直观。
而且，这能够让我们从哲学和“实在”层面，去理解概率里的“发生”和“未发生”。
例如，假如一件事情发生的概率是80%，但结果这件事情并没有发生，很多人会据此怀疑概率的意义。
借助于平行宇宙的理论，我们就能说，除了要验证80%发生概率的精确性，可以认为我们掉进了20%“不发生”的平行宇宙，这并不奇怪。
最近有位物理学家认为，我们处于上层宇宙的一个黑洞中。
这个新观点颇让人震惊，我们所知的宇宙，可能是从其他宇宙里面的“黑洞”诞生而来，大爆炸就是一个黑洞“炸出”另一个宇宙的过程。
我们对于充满不确定性的未来，对自己似乎“命中注定”的命运，对于比电影还要精彩（或是“还要悲催”）的现实，不可避免地会有一些疑惑和感慨。
4
让我们回到现实世界的概率话题。
现在我们把问题变成扔两个骰子，请问扔两个骰子，得到两个6的可能性是多大？
太简单了，1/6 X1/6=1/36，但是为什么要这么计算呢？
我知道你懂“两个独立事件A和B同时发生的概率等于A发生的概率和B发生的概率的乘积”，可我们说好了不用公式的呀。
所以，让我们继续用平行宇宙的可视化计算法，扔两个骰子，其实是它们的宇宙分裂了两次，如下图：
第一次：扔第一个骰子时，宇宙分裂成了六个（绿色）；
第二次：扔第二个骰子时，每个绿色的宇宙又分别分裂成了六个（蓝色）。
于是我们得到了36个平行宇宙。
现在我们来找一下，在36个平行宇宙里，有多少个是两个骰子都处于6的状态。
答案是只有一个（在右下角），所以，得到两个6的可能性是1/36。
用“平行宇宙法”，看起来复杂，但直观，而且可感知,这正是爱因斯坦所说的：
每个人按照正确的思维方式，自己应当并且也能够推导出的结论。
更关键的是，我们可以用这种零公式的方法，来解答更难的题目。
有些读者会问我数学题，例如下面这个：
这个问题看起来简单，我猜90%的人不会做，会做的那10%，其中可能只有1%能说明白为什么这么做。
让我继续采用“平行宇宙法”清清楚楚地算一遍。
如题，因为1也可以是3，所以我们可以把问题简化，单个骰子得到3的概率是2/6=1/3，在下图中：
用红球来标记1和3，出现的概率是1/3；
用黑球来标记其他可能，出现的概率是2/3；
扔三个球，作为独立事件，相当于爆炸了三次，如下图。
分裂了三次之后，一共产生了3X3X3=27种可能。
我们来检查一下，这27个平行宇宙中，有多少个是两个红色球？
如图，从右侧回溯到左侧，每条线上的三个球，就是该平行宇宙下的三球分布。
其中，画红钩的6个符合条件，所以答案是：6/27=2/9。
我们也可以用排列组合法来做：1/3X2/3X1/3X3=6/27=2/9。
但我们说了，不用一个公式。
（开始提问者后半截的问题，摇骰子，得到三个3（1也可以是3）的概率是1/27。）
5
下面这道题，已经进入高手级别了，但是我们依然不用任何公式。
更好玩儿的是，你甚至可以用下面这道题让普通人迷惑的地方，在酒吧里和人“打赌”。（当然，不是真赌哈。）
帽子里有三张卡片，一张两面都是红色（“红-红”），一张两面都是白色（“白-白”），一张一面红色一面白色（“红-白”）。
从里面随机抓出一张卡片扔向空中，落地后红色一面朝上，问：这张卡片是“红-红”的概率是多少？
请你准备三张纸片，写成上面的样子，以便更直观地思考。
看起来很简单啊，根据已有信息，这张牌要么是（“红-红”）那一张，要么是（“红-白”），二者出现的可能性是一样的，所以是“红-红”的概率是50%，不是吗？
正确答案是：2/3。
正确的问题表征是根据卡片的面，而不是整张卡，所有结果的样本空间包括六个事件——每张卡片的每一面各为一个事件。
由于红色的一面向上，因此在“有效样本空间”中共有三个事件：红白（红面向上）、红-红（一个红面向上）、红-红（另一个红面向上）。
因此正确答案是 2/3——三个等概率事件中，其中两个是红-红。
我们的错觉在于，红-红这张牌每回只能出现一次，为什么其两面可以“拆”成两个独立事件呢？
我们用穷举法，以“概率树”的形式，也就是我们上面所说的“平行宇宙法”，加上书中的配图（如下），更容易理解：
三张牌可以分裂成（上图右侧的）6个平行宇宙，牌面是红色的有3个，这3个中，有2个是红-红牌。
你看，这道题看似非常简单，能答对的人极少，而且会有人看了答案都不服，最好的办法就是做三张牌，实际玩儿上几把，不服就来真的。
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其实，“平行宇宙法”就是一种穷举法。
只不过我把动态过程加进去，因为有了时间、空间，以及“分裂”这个动作，我们就可以让这个计算过程可视化，可感知。
这样一来，也就更可以在“为什么”的基础上思考。
“为什么”是一个非常伟大的词汇，本系列文章的后两篇，“为什么”是主角之一。
追问“为什么”也是概率计算的“第一性原理”，一旦做到了这一点，你就是真正聪明的概率高手。
能否进行概率计算和思考，的确是评判一个人是否真聪明的硬指标。
1968年夏天，爱德华·O·索普遇见了沃伦·巴菲特共进晚餐。
索普是一位数学家，曾经在赌场攻克了21点游戏，后来又在资本市场上大展身手，是量化金融的先驱。
两个聪明人在一起自然要过招，巴菲特决定考验一下索普，题目如下。
有三个奇异骰子，每一个骰子最多有2个或3个不一样的数字。
用这些特殊的骰子来玩1个赌博游戏：
你可以选这3个中“最好”的那个，而我拿剩下的2个中“最好”的。
我们一起掷出，数字大的获胜。
即便你选择了那个你认为“更好”的骰子，我也总是能够从平均统计值上战胜你。
对绝大部分人来说，这里最不可思议的一点在于，根本不存在所谓“最好”的骰子。
坦率说，这个题目让许多人困扰，因为他们认为应该遵守数学上所谓的传递规则：若A优于B，B优于C，则A优于C。
索普答出了巴菲特的难题。
如果骰子如下：A的六面数字是（3，3，3，3，3，3），B是（6，5，2，2，2，2），C是（4，4，4，4，1，1），那么统计平均显示，A对B的胜率有2/3，B对C有5/9，C对A有2/3。
所以说，这是三个非传递骰子，不管你先选哪一个，我都能找出一个在概率上赢了你。
什么意思呢？我们继续用基于“平行宇宙法”的穷举法，来证明索普的结论。
只是我不再能画成简单的分叉图了。
以B对C为例，示意如下：
横向的红色，是B的六种可能。
纵向的蓝色，是C的六种可能。
二者对决，36个格子就是36种可能，也就是说，会有36个平行宇宙。
这当中，红胜20次（打红钩的情况下），所以B的胜率是20/36=5/9。
你看，全世界最聪明人的难题，也不用一个公式，就能够解得清清楚楚。
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概率计算，普通人只要知道这么多，就够了吗？
几乎是，但最好再加上另外一种，就更完整了，我们先来一道传说中的谷歌面试题：
假设在一段高速公路上，30分钟之内见到汽车经过的概率是0.95，那么在10分钟内见到汽车经过的概率是多少？（假设缺省概率固定）
解题思路如下：
1、可以把30分钟的这个结果，当作是三个10分钟的叠加，就像扔三个骰子一样；
2、30分钟之内见到汽车经过的概率是0.95，可能是经过一辆车，也可能是几辆车，所以我们就倒过来想，30分钟见不到任何车的概率是0.05。
3、30分钟见不到任何车，意味着三个10分钟，连续都见不到任何车，我们假设每10分钟见不到车的概率是y。
所以，这三个10分钟同时发生见不到车的概率，就是yXyXy，原理和上面第“4”节的思路一样。
因此在10分钟内见不到任何车辆的概率，是0.05的立方根。
而在10分钟内见到一辆车的概率，则为1减去此立方根（因为“见到车”和“见不到任何车”的可能性之和为100%）。
答案是大约63%。
类似思路的“用1减”，最有名的题目就是所谓的“生日悖论”：
如果在一个房间，至少要有多少人，可以令“其中某两个人的生日是同一天”的概率大于50%？
答案是23人，这个数字远比直觉要低得多。
我很早以前喜欢拿这个错觉和人打赌，赢了好多回。
具体计算方法也不难，简述如下：
1、这个问题也要倒过来想，计算连续多个人生日都不重合的概率；
2、我们假设人们是按顺序一个个进入房间，第一个人随便占了365天的一天，概率是365/365；
3、第二个人只有占剩下364天的一天，才能不和第一个人重合，概率是364/365；
4、依次类推，第三个人只有占剩下363天的一天，才能不和前两个人重合，概率是363/365；
……
前五个人生日完全不重合的概率是：
1×364/365×363/365×362/365×361/365=97.3%。
也就是说，看起来似乎不重合的可能性很大，但是随着人数的增多，不重合的可能性加速降低。
这有点儿像另外一种形式上的“复利效应”。
当人数达到23的时候，不重合的概率已经低于50%了；
当房间里有50人时，至少有两个人生日重合的概率已经高达近97%了。
类似的算法，还可以用来在饭桌上打赌，至少有两个人是同一个星座。
请问，饭桌上有几个人的时候，你愿意和别人打这个赌？
即使我宣称了“零公式”，你能坚持看到这里，也很不容易，但绝对是值得的。
据科学家说，人类的大脑可能天生就是一个懂得贝叶斯概率算法的机器。
但只是一个隐形的机器。
事实上，人类很晚才懂得如何计算概率，所以人类大脑很难对概率计算形成直觉判断。
计算机、大数据、人工智能的加速发展，以及金融市场和全球化经济的进程，令概率成为现代人必备的“底层算法”。
好文，值得你一读再读
作者简介：老喻，出版新书《人生算法》，孤独大脑，可能是最烧脑的公众号，公众号：孤独大脑（lonelybrain）