初一数学重要题型之将军饮马，7种模型必须掌握，中考、期末必考
我们从初一数学轴对称开始就接触到将军饮马问题，这里面包括和最小的问题（三角形周长最小值，四边形周长是最小值），差的绝对值最大值问题等问题，初中数学掌握到难度也到此为止，中考题型不会特别难特别偏，但在综合题求最值问题时，常会用到将军饮马问题的模型。
毫无疑问“将军饮马”是中考、期末的重要题型之一，也是初中必须掌握的数学模型。为此，王老师今天选择了七种数学模型供同学们探讨，其中包括了“造桥选址”的问题（平移版的将军饮马问题），这7种模型必须掌握，中考、期末必考。
白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，将军饮马问题，从古到今，都是一个非常有趣的数学问题，也是现在数学考试的一个重要题型，同学们应当必须掌握，知其然，还要知其所以然，一定要结合数学模型，对每一个问题都知道其原因，并用来解决实际问题。
下面给大家准备了4道将军饮马问题的练习题，对于初一孩子而言，略微有点超编，弄懂这4道大题，将军饮马的主要内容基础也就掌握了。
【例题一】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为________．
【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P'、P''，化PM+PN+MN为P'N+MN+P''M．
当P'、N、M、P''共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、OP''，可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
【例题二】如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图像上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为____________．
【分析】先考虑M为折点，作点P关于OM对称点P'，化AM+MP+PN为AM+MP'+P'N
此处P'为折点，作点N关于OP'对称点N'，化AM+MP'+P'N为AM+MP'+P'N'
当A、M、P'、N'共线且AN'⊥ON'时，值最小．
【例题三】（2017湖北随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3,0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_________．
【分析】此处点P为折点，作点M关于OA的对称对称点M'如图所示，连接PM'，化PM+PN为PM'+PN．
当M'、P、N共线时，得最小值，又∠M'ON=60°且ON=2OM'，可得∠OM'N=90°，故P点坐标可求．
【例题四】（2018滨州）如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP为根号3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是_________．
【分析】此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA的对称点P'、P''，化△PMN周长为P'N+NM+MP''．
当P'、N、M、P''共线时，得最小值，利用60°角翻倍得∠P'OP''=120°，OP'=OP''=OP，可得最小值．