巧添辅助线构造全等三角形

对于证明线段或角的等量关系或数量关系时，往往首先的就是通过“全等三角形对应角(边)相等”。但是在很多情况下，需要学生自行构造全等三角形，搭建桥梁，从而寻找线段或角之间的等量关系，本文就介绍三种常见的辅助线添加方法以达到构造全等三角形的目的。

线段的截长补短法已在前文介绍，此处提供链接：📝截长补短法构造全等三角形

解法分析：本题其实是典型的“三线合一”模型，AD平分∠BAC，BP⊥AD，因此延长BP交AC于M，构造等腰三角形，将∠ABP转化为∠AMP，只要证明BM=CM，即可得到∠AMP=∠ABP=2∠C.

解法分析：本题其实是典型的“三线合一”模型，AE⊥BD，求证BD平分∠ABC，因此延长AE、BC交于点P.通过证明▲AMC≌▲BCD，得到BD=AM=2AE，问题得证.

对于这样的“双垂直”模型，往往利用同(等)角的余角相等寻找等角，也是常见的证明角相等的方式。

🖇对于利用等腰三角形的三线合一添加辅助线，往往采取“补全”的思路，即题目中出现了“角平分线”、“高”或“中线”，将“缺陷”的图形补成一个等腰三角形。

解法分析：本题最终要证明DF=EF，思路是利用全等三角形证明线段相等，但是显然▲DBF与▲CFE不全等.利用BD=CE，可以采取过点D作CE平行线的方式，进行线段的转化(转化BD)，从而构造全等三角形，继而证明DF=EF.

除了过点D作平行线的方式，还可以截取DP=BD，同样可以证明▲DPF≌▲CFE.本题也可以尝试过点E作AB的平行线构造全等三角形.

解法分析：本题同例1一样，需要构造全等三角形，利用BD//CE，可以得到等角∠D=∠E，延长BA至点P，利用∠ABC=∠ACB，得到∠ACE=∠BPC，继而得到BA=AP，进行线段的转化，从而构造全等三角形.

本题也可以延长BD和CA交于点Q，同样转化线段AB，构造全等三角形.

解法分析：本题的背景是等边三角形，要证明DP=PE，仍旧是构造全等三角形，通过过点D作AB的平行线，转化线段CD，达到构造全等三角形证明线段相等的目的.

🖇对于利用平行线构造全等三角形，其背景往往是等腰或等边三角形，通过“等角对等边”达到边的转化的目的，可以观察到此类构造的全等三角形呈“X”型。

解法分析：本题的常见思路是证明▲ABD≌▲ACD，但是这样证明出现了S.S.A的情况，因此利用D是BC的中点这一特殊性质，倍长中线AD，构造全等三角形.

除了倍长中线外，也可过点C作AB的平行线，虽然辅助线的写法不一样，但是证明的全等三角形、进行转换的线段还是一致的。

解法分析：本题要证明CD=2CE，但是CE和CD不在一直线上，由E是AB中点，通过倍长中线(或添加平行线)构造全等三角形，进行线段的转化。

解法分析：本题需要证明线段的和差关系，因此转化线段在一直线上是基本思路。由AD平分∠BAE，通过翻折，使得E在AB上，但是这样的证明却不能实现：

结合D是BC的中点，可以延长AD、CE交于点P，其实也是利用翻折的思想，构造全等三角形，达到线段转化的目的。

🖇对于利用倍长中线法添加辅助线的问题，其特征是“出现中点”，方法是作“平行线”或将“中线加倍”，达到构造全等三角形，进行线段转化的目的，其构造的全等三角形的特征也是“X”型。