2021崇明/青浦25题分析(特殊三角形存在性)

2021崇明25题解题背景：

2021崇明25题围绕着“旋转型相似”的背景展开，第1问利用角的关系证明三角形相似；第2问延用第1问的相似形建立y关于x的函数关系式；第3问是等腰三角形的存在性问题。

解法分析：本题的第1问根据“同角的余角相等”，得到∠DEB=∠A，根据PD⊥DQ及DE⊥AB两个垂直关系，得到∠PDA=∠EDQ，继而得到▲ADP∽▲DEQ。

解法分析：本题的第2问利用∠B的三角比得到BE和DE的长度，继而得到EQ的长度，再利用▲ADP∽▲DEQ建立比例关系。

解法分析：本题的第3问是等腰三角形的存在性问题讨论，如果将直接进行分类讨论，那么三边的线段长度非常难求。

方法1：根据tan∠P=DQ:PD=DE:AD=DE:BD，即可得到tan∠P=tan∠B，继而得到▲BDQ∽▲PDF，对▲DQB分类讨论即可。

方法2：根据旋转型相似三角形，由▲ADP∽▲DEQ，可以得到▲ADE∽▲PDQ，继而得到▲BDQ∽▲PDF。

🔖等腰三角形存在性相关问题：相似转化→分类讨论(链接：巧用基本图形分析法解决梯形中的压轴题第三类问题)

🔖旋转型相似三角形模型：

2021青浦25题解题背景：

2021崇明25题第1、2问围绕着30°直角三角形的背景，以A型基本图形、30-60°特殊三角比解三角形以及一线三等角模型进行展开；第3问是临界位置的讨论问题。

解法分析：本题的第1问利用∠B为公共角，通过证明对应线段成比例，证明▲BPQ∽▲ABC，继而得到∠PQB=∠C=90°。

解法分析：本题的第2问是▲PDQ为直角三角形的存在性问题，当∠PQD=90°时，不存在，但要指出不存在的理由，说理清晰；当∠QPD=90°时，PD//AB，理由DP为三角形中位线直接得BP得长；当∠PDQ=90°时，构造一线三等角模型，通过解三角形及三角形相似构造比例关系求解。

解法分析：本题的第3问是根据翻折后，D'在▲ABC的内部，继而求BP的范围。因此本题是寻找D'的临界位置，对D'在边BC和AC上进行分类讨论，利用三角比计算BP的长度即可。

特殊三角形的存在性问题，首先通过分类讨论，观察能否直接计算，若过程太复杂，则考虑利用(三角形的相似)进行三角形的转化，继而再进行分类讨论，简化运算。