一线三等角模型在二次函数垂直问题中的应用

在二次函数中常常出现这样的问题“矩形的存在性问题”、“直角三角形的存在性问题”以及“在抛物线上找一点P，使得PE⊥PQ”的问题，这些问题虽然问法不同，但其本质是相同的，即根据垂直的条件，求出相应的点的坐标。而解决这类问题常用的方法就是构造一线三等角中的垂直模型，通过构造相似，利用比例线段或等角的三角比解决问题。

如图，是常见的平面直角坐标系中的一线三等角模型，根据直角三角形的位置以及已知的等角，有这样几种不同的添线方法。当在坐标系中遇到直角三角形(或垂直关系时)，可构造K型相似：过直角顶点作水平线(或铅垂线)，过另外两个顶点作该水平线(或铅垂线)的垂线，即可形成K型相似(全等)，进而运用锐角三角比或相似三角形列方程解题，如果坐标系中出现等腰直角三角形或正方形的存在性问题，则可以通过构建一线三等角模型构造全等三角形，如下图所示.

问题1：直角三角形的存在性问题

解法分析：对于本题第2问中的角相等问题，可通过构造直角三角形，借助等角的三角比相等进行解决；本题第3问中以AE为直角边构造直角三角形，进行分类，即∠EAP=90°或∠AEP=90°，然后借助K型相似解决问题。

         问题2：等腰直角三角形的存在性问题

解法分析：本题的背景虽然是阅读理解，但是抓住∠CEF=90°及“特征角”的定义后，即可得到△CEF是等腰直角三角形，借助K型图，构造两个全等的直角三角形.

 问题3：直线互相垂直问题

解法分析：本题的解题背景虽然是在图形运动的背景下，但是遇到垂直问题，还是构造K型相似进行解决。

问题4：相似三角形的存在性问题

解法分析：本题的解题背景是三角形的相似存在性问题，由于△AOC是直角三角形，因此△BCP必是直角三角形，分类讨论后，产生两种情况，即∠BCP=90°或∠BPC=90°。由于需要求出点P的坐标，因此，可以利用K型相似构建一线三等角模型，利用AO:OC=1:3，建立等量关系.

二次函数中的垂直问题 学习单