读 Joseph J. Rotman 之《抽象代数基础教程》

Joseph J. Rotman, 李样明, 冯明军. 抽象代数基础教程. ISBN: 978-7-111-21262-1

如果说数学有一个统一的范式，那么这个范式非代数莫属。代数就是用符号代替实际的对象，用符号之间的关系表现以及推断实际对象之间的关系。研究代数学就是研究这些符号之间的关系。具体来说，代数学主要群，环，域，序，线性空间等基本代数结构中的关系。这些代数结构往往由一个集合和这个集合上的一两个简单变换构成。它们可以看作是最为基础的结构或者关系。这些结构所具有的特性，其他数学结构也都具有——换句话说就是其他数学结构都可以看作基本代数结构的特例。所以，代数学是整个数学的基础和范式。

例如，交换群的性质其实就是我们小学学的有理数或者实数加法的性质。我们在高数中学到的把实数称为“实数域”的话术也是来自代数学。因为实数集只是一个集合，而“域”则表示一个满足特定要求的集合和这个集合上满足特定要求的运算所组成的整体。“实数域”这个说法其实就暗示了实数及其上运算满足域的要求，拥有域的一切特性。只不过，由于在开始学高数的时候还没接触过代数，没有领会教材作者的这层用意。

需要注意的一点是，“代数”和“数学”这两个中虽然都有“数”这个字，但代数所代的不一定是数，数学也不是仅研究数字的学科。之所以它们名字里都有数，完全是历史原因。最初的代数和数学确实和数字密切相关，但是时至今日数字早已不是代数和数学的仅有的研究对象了。

说回到这本教材本身。这是一本十分易读的抽象代数基础教材。考虑到读者的基础水平参差不齐，它还专门有介绍基础知识的章节。在这个章节中简单介绍了一些数学归纳法和数论方面的知识为学习抽象代数铺平了道路。

所谓抽象代数，从字面来看就是“代数”中比较抽象的那一部分。由于这一部分大致在十九世纪开始兴起，所以有的地方也用“近世代数”来指代这一部分。听这俩名字，这门课就给人一种高深冷门的感觉。但其实，这一部分知识既不高冷，也不冷门，它是目前数学知识体现中的基础和根基。先了解一点抽象代数，再去学别的数学分支会快很多。而先学线性代数、再学高等代数、再学抽象代数这种学法则有点像逆练武功，吃力不讨好。这个顺序是代数知识发展的过程，但知识的发展过程不一定是最佳的学习顺序。对于一门可以抛开学科历史单独讲的学科更是如此。

所以我个人建议，各位高考完在家无事的准大学生可以利用这个空当读一读这本书。只要踏踏实实把基础知识回顾部分读通，后续代数部分跟着这本书走，对抽象代数建立一个大致的理解是不成问题的。顺便还能为选专业提供一点参考。

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