2021辽宁本溪第19题填空压轴小题（正方形翻折、半角模型）
“初中数学研学堂”
19.如图，将正方形ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE.下列四个结论中：①△PBE∼△QFG；②S[△CEG]=S[△CBE]+S[四边形CDQH]；③EC平分∠BEG；④EG(^2)-CH(^2)=GQ*GD，正确的是______（填序号即可）
图文解析
∠1和∠2同是∠AEG的余角，所以∠1=∠2，而∠3=∠2，所以∠1=∠3，又因为∠F=∠B，所以△PBE∽△QFG，故①正确.
易知∠1=∠2，且∠2+∠BEC=90°，∠1+∠GEC=90°，所以∠BEC=∠GEC，所以EC平分∠BEG，故③正确.
可证△EBC≌△EMC，故MC=BC，∠EMC=∠EBC=90°，所以MC=DC，∠EMC=∠D=90°,进而可证得△GMC≌△GDC，故②错误.
如何转化EG2-HC2，首先想到勾股定理，则需将两线段转化至同一个直角三角形中，由前面分析知∠ECM=∠ECB，∠MCG=∠DCG，故∠ECG=45°,
属于正方形中“角含半径模型”.
根据轴对称性知，∠HEC=45°，故△HEC为等腰直角三角形，所以HC=EH.
EG2-HC2=EG2-EH2=GH2，故只需证明GH2=GQ×GD
下面只需证明△GHQ∽△GDH，故需证∠GHQ=∠HDG=45°.
∠ECG=45°，欲证∠GDH=45°，只需证△GEC∽△GHD，需有GE:GC=GH:GD.
易证△GHE∽△GDC，故有GE:GC=GH:GD，故问题得证，所以④正确.
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