五年级：美妙数学之“韩信点兵”（0719五）

      美妙数学天天见，每天进步一点点。亲爱的同学们，你们好！我是朱乐平名师工作站的卢伟青老师，今天我带给大家的是“韩信点兵”。

一起回顾微课学习过程

故事梗概

有一次战斗后，韩信要清点士兵的人数。让士兵三人一组，就有两人没法编组；五人一组，就有三人无法编组；七人一组，就有两人无法编组。那么请问这些士兵一共有几人？

美美

这是什么意思呢？

天天

我想，需要转化成数学语言更有利于问题解决。

有一个数，用它除以3余2，除以5余3，除以7余2，那么这个数是多少？

穷举法解题

天天

我可以将它们一一列举出来，看看哪些数同时符合这些条件。

这三个数列中都有23，所以23是满足除以3余2，除以5余3，除以7余2的。如果继续列举，还能找到128、233……

美美

用23每加一次105就会得到一个结果，看来有无数个解。

这是因为105是3、5、7的最小公倍数，那么23加上或减去若干个105后，不会改变除以3、5、7的余数。所以我们可以用下列方式表示最后的结果：

歌诀解题

“三人同行七十稀”指将除以3的余数乘70，“五树梅花二十一”指将除以5的余数乘21，“七子团圆正半月”指将除以7的余数乘15，把以上这些数相加再减去105。

原因探究

天天

为什么这么做就能同时满足除以3余2，除以5余3，除以7余2？

为什么除以3的余数要乘70？

将70分别除以3、5、7，会发现70是5和7的公倍数，且除以3余1。那么任何一个数添加一个70后，不会改变除以5、7的余数，但是会在除以3的余数中多一个1。如下图：左边是18分别除以3、5、7的结果，右边是18加70后除以3、5、7的结果，比较可知除以5和7的余数没有改变，除以3的余数多了一个1。

现在题中“除以3余2”，即意味着这个数要包含2个70。因此要2乘70。

为什么除以5的余数要乘21？

美美

现在你能说出为什么除以5的余数要乘21吗？

21是3和7的公倍数，且除以5余1，那么任何一个数添加一个21后，不会改变除以3和7的余数，但会在除以5的余数中多出一个1。题中“除以5余3”，即该数含有3个21，所以要3乘21。

为什么除以7的余数要乘15？

同理可知15是3和5的公倍数，且除以7余1，那么任何一个数添加一个15后，不会改变除以3、5的余数，但会在除以7的余数中多一个1。题目“除以7余2”，说明这个数要包含2个15，所以要2乘15。

最后的结果

将上述三个算式相加，就得到了同时满足除以3余2、除以5余3、除以7余2三个条件的数233。又因为3、5、7的最小公倍数是105，所以233加或减去若干个105后都不改变除以3、5、7的余数。于是，我们同样找到最后结果：

老师

原来是这样的道理。你们明白了吗？看看还有谁研究过这个问题呢。

中国剩余定理

世界著名的数学家欧拉、高斯等人，都曾经研究过这个问题。我国古代的先贤在这方面取得了丰硕的成果。“韩信点兵”问题只是一个例子，这样的问题有更加普遍和系统化的表示方法。而这个方法，就被世界称为“中国剩余定理”，是我国为数不多的获得世界公认的古代数学成就之一。

小试牛刀

一个数，除以4余2，除以7余3，除以13余5。这个数是多少？

美妙数学天天见，每天进步一点点。

今天的分享就到这里。我们明天见。

审核人：苏陈林