数列高手|“错位相减法”算个什么鬼!

其实，今天的推文想写好长时间了。

因为前段时间的考试，期末和开年考，都考了同一个知识点，数列中等差比数列的求和。

不用怀疑，全中国所有学过数列的，都应该知道错位相减法。

但老师斩钉截铁的预言“你可能一定会出错的”！却也一直在考一直成真。

真的，这几次，依然有绝大一部分同学，要么计算时间特长，要么计算结果出错，甚至还有看到计算量，干脆放弃了……

昨晚星期一，两节自习辅导课，做了张卷。还真的有等差比!今天阅卷发现依然有16人解不了，占比35%……

明知必考，却什么也做不了！

还有什么比这种无能为力，更让人纠结的无能为力呢……

其实，关于错位相减法，计算过程，也并没有学生口口相传的那么复杂。

奈何现在的娃，计算能力是普遍不高的呢。

但终归这是个重要的问题，迟早要解决的。

所以，今天就这个等差比数列的求和问题，做一下专门的讲解。

期待下次，再见等差比，同学都能顺顺利利！

这就是我们的考题之一了，记得是上学期的期末联考题。

第一问当然是简单的，典型的由和求项，当然就要用到数列的和与项之间的关系。

只是要记得，一定要对n=1进行检验的！

第二问，就是典型的等差比嘛！

相信所有同学都认出它来了。

那么，你能很顺利地计算出，它的前n项之和么？

当然，首选方法嘛，一定是大家耳熟能详的“错位相减法”了。

1错位相减法

你看吧，计算过程其实真的是，非常非常简单的。

可是为什么，总会有那么多的同学，错到自己一无是处呢？

其实，只要把相应的项对齐了，化简时再细心一点，真的是没理由出错的。

所以为了这个问题，我极认真的将等差和等比数列都进行了一般化，耐心地做了一下一般性的推导。

过程有点复杂，但是结果……

再细看下，这完全就是一个固定结构的嘛！

大概意思就是说：

等差比数列的前n项之和是一个常数与新的等差比数列之和

多么好的结论！

嗯，我还依稀记得，等比数列的前n项和，也是一个常数与等比数列之和的。

其实，谁还不知道等比数列，就是等差比的特例呢！

所以，如果允许归纳推理，上面那个结论，也就不是那么奇怪了。

不过以后，我们可以类似地，这样去记这个结论：

因为有了这样的结论，等差比数列的求和，便有了第二种办法。

2待定系数法

这种方法，应该是很好的了吧。

只是如果考试用它的话，还是要委婉一点的。

毕竟，这个结论并没有经过官方认证。

但你仍然可以按照错位相减法的过程，象征性地写上几步，便得出结果。

自然的，结果要预先在稿纸上算好。

当然，对于基础好一些的孩子来说，这种操作是完全没有必要的。

毕竟，错位相减的原理，不难理解；计算量，也真心不大。

其实，如果再细致点分析，你会发现等差比数列，也是可以和某些分式型数列一样，可以裂项求和的。3裂项相消法

看，这里裂项相消的过程，真的是比错位相减法，看起来舒服了不少。

只是，是不是所有的等差比数列，都能进行类似的裂项呢？

这个问题，其实你就完全不用担心了。

因为我已经为你，准备好了下面的结论：

当然，如果你觉得还不太放心，也可以自行证明一下。

就算是加强一下对这个结论的认识，让以后记得更牢固一点，也是完全可以的。

不过还是想聊举一例，以坚定自己对这个结论的信念。

现在，这个结论没问题了。

那以后你还用啥错位相减法嘛！

这种裂项相消法，才绝对应该成为首选啊！

当然了，如果只是单纯的想秀一下解法，也可以考虑将等差比数列拆开了来看。

嗯？为什么要标记一下红色部分呢？

认真地想一想……

想一想……

是不是有点求导公式感觉？

想想等差比呢，却总是会有一个这样子的结构！

至于另外一部分，压根就不用去考虑它。

因为那就是纯粹的等比数列啊。

基于这样的想法，求和时便有了，出人意料的导数法。

4导 数 法

确实是够神奇！

也从来没想过导数还能这样吧。

所以，有没有感觉，以前还是太小看了导数的作用了呢。

不过说真的，有了这么几种思路，以后再见等差比，还真的会害怕再也算不对么！