SSA,AAA为什么不能判断全等？HL怎么理解？被冤枉多年的SSA

本文收录于：公众号底部菜单

识别二维码下载部分资料

学完全等后，我们都知道判断全等的条件（SSS，SAS，AAS，ASA，HL+90度），我们发现这都是有三个条件组成（HL相当于90度和两边），其实三角形的边角条件选三个组合有四大类（三个边、三个角、两边一角、两角一边），再考虑位置关系，其中两边一角需要区分邻角还是夹角，两角一边区分夹角邻角，一共是6种情况（SSS，SAS，SSA，AAS，ASA，AAA），有两个是没有在全等条件里的（HL比较特殊后面会说），今天就来讨论下为什么这两不行（相关文件老师们请点击阅读原文下载，下载密码tv8z）

上面的内容可能老师都知道，但是到底SSA为什么说是冤枉呢，请看下文。

先看AAA，的一个反例，就是大小不同，形状相同（三个角相等）的三角形（其实是相似，这里可以铺垫一下相似，形状一样大小不一样）

怎么理解这个形状相同呢？我一般是举例用放大镜，放大一个三角形，三角形变大了，但是每个角其实没变，形状还和原来一样

AAA还有一个，简单反例就是三角形中的平行线（是后来的平行相似模

型）

通过这个情况的线段变化，我们可以发现，AAA再加上一个边相等两个三角形就必然一模一样，也就是AAAS可以判断全等，其实AAA是多余的，因为内角和定为180度，所以只要AA就等价于AAA了，所以AAAS其实可以去掉一个角，就会产生AAS和ASA，这也是为什么两角一边不需要考虑位置关系两种都可以判全等了。（我一般把这两种方法合二为一，因为以后也不需要写原理所以只要记住两角一边必全等）

接下来主角登场，对比下，两边一角的两个兄弟SAS，SSA就有不同的待遇了。主要是SSA存在反例经典。

如下图1：三角形GIJ和三角形GIH满足SSA但是显然不全等。

产生这个反例的原因是因为直线外一点I，到直线GH上一点连线段为一个固定值（大于垂线段长度），这样的点存在两个。所以产生了分歧误会。导致SSA不一定全等。

动起来看看：

虽然SSA不一定全等但是稍作限制其实还是可以证明全等的。（这就是为啥说他有点冤枉），一开始（N年前）接触这个知识点的时候，我看这个反例图中的两个三角形像是一个锐角一个钝角，我就大胆的下结论：当两个三角形同为锐角/钝角/直角三角形的时候（注意这里强调是三角形不是角），SSA可以判断全等，但是我错了一些。

我们再看看反例，下图显然是一锐角一钝角，并且根据等腰可以得到公共边的对角IJG和IHG是互补的，我当时就这么想，互补和为180，那显然一个角是锐角一个角是钝角的啊。但是我疏忽了。因为有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，但是有一个角是锐角的三角形不一定是锐角三角形。

下边这个图就打脸了，两个都是钝角三角形，但是公共角是锐角（也就是相等的那个A是锐角），此时反例成立，是不能判全等的。

下图，可以是一个钝角三角形和一个直角三角形。也是相等的那个A是锐角，此时反例能成立，是不能判全等的。（思考一下相等的角A是钝角呢？）

不过至少还是有对的部分两个都为锐角三角形，或都为直角三角形的时候SSA是可以判断全等的。如下图把公共角变为90度，发现不论J和H是同侧还是异测，两个三角形都全等。也就是此时SSA可以判断全等

定眼一看，这不就是HL吗？！！，原来HL并没有被满门抄斩，只是改头换面活了下来，并且发挥着重要的作用。（是不是想起了琅琊榜里的林殊，化名梅长苏。扶摇里的轩辕越，化名宗越）

所以HL其实就是直角三角形中的SSA，HL还有一种理解，有的教材HL并不是和其他四种一起学的，而是在学完直角三角形性质勾股定理之后，勾股定理就是Rt三角形中已知两边可以确定第三边。所以HL两边确定一样，第三边也就相等，相当于SSS。

（也有老师与有不同的说法，其实本质原理是一样的就是通过加条件，使反例无法成立（失效），这样SSA就可以判断全等了，我是区分三角形的形状（用锐角三角形，直角三角形，钝角三角形区分）；也可以区分那个相等的角，相等的角是钝角时候SSA成立，相等角是直角时候SSA成立，相等角是锐角时候SSA不成立；还可以加上相等的角是最长边的对角）

别着急还没完，还有另一个反例，如下图，其实就是把一个三角形沿着GI翻折过去。

在定眼一看，这不就是对角互补、一对临边相等、含角分线模型吗？（名字常被简化，其实是这三个条件知二推一）证法为做双垂然后略。下面简单看看。

如下图两个都为钝角三角形

也可以是一锐一钝，或者一直一钝。

下图封面：

“知识”这个东西非常的神奇，你把它分享出去，它不但不会减少，反而会增加，所分享知识应当是快乐的，也能够让自己提升，这就是我每天分享知识的信念。

（感谢支持： 分享、转发、右下角点“在看赞”）

获取更多免费精品知识内容，学习GeoGebra软件作图