模型 | 正方形的新视角之对称与旋转，半角与三垂直模型（推荐）
当我们学习完了全等、勾股、相似，平移、对称、旋转，如果还想再加点料的话，不妨看看正方形．
正方形是一种既简单又复杂的图形，其图形本身很基本、简单，因而在此基础上可以作很多复杂的变形与构造，我们所知的几何内容，一个都不缺．本专题以近两年中考题为例，简单了解关于正方形在中考题中的应用．
本文将介绍三个方面的内容：
（1）正方形与对称；
（2）正方形与旋转；
（3）反相似手拉手．
正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，关于对称可以考察对称的基本性质，也可以有关于构造对称，而涉及到计算的，无非就是勾股或者三角函数．且看相关例子：
图形的基本性质
求线段长度——勾股定理
对称性质——对称点连线被对称轴垂直且平分
对称性质——对称点连线被对称轴垂直且平分
构造对称——将军饮马问题
构造对称——不一样的将军饮马
关于旋转，关注点在于①绕哪个点旋转；②是否是特殊角度．对于正方形，可绕其中一顶点旋转，可绕对角线交点旋转，大致如下：
（1）绕顶点旋转的手拉手模型
（2）绕O点的等腰直角共点旋转
看几个关于旋转的简单例子：
旧题重看——正方形手拉手模型
共点旋转——以对角线交点为旋转点
旋转——旋转点在对角线上的旋转
若已知旋转，寻找其中的全等或相似即可，而构造旋转，往往更考验对图形构造及旋转的理解．关于正方形的共点旋转，有如下结论：
在正方形ABCD中，点P是正方形内一点，
若满足∠APD=135°，则有2PA²+PD²=PB²．
反之，若2PA²+PD²=PB²，则∠APD=135°．（在旋转章节中有过介绍）
2018烟台中考——旋转的构造
关于正方形的旋转大题也有很多，举一例：
探究正方形的旋转
在上一个例题中不难得出这样一个图形：
若连接两个正方形的对角线，则会有一组旋转型相似，这里其实利用的是等腰直角三角形直角边与斜边的比例关系，可将图形简化如下：
连接起对角线，转化成等腰直角三角形，则还另有结论．
如图，正方形ABCD与正方形CEFG共顶点C，连接CA、CF，取AF中点M．
连接ME、MD，则有：MD=ME，ME⊥ME．
连接MB、MG，则有：MB=MG，MB⊥MG．
在说这个证明之前，我们要说说一个模型：
反相似手拉手模型（苏州学而思徐杰老师取名）
手拉手模型：四线共点、两两相等、夹角相等，即可构成一组旋转型全等，称之为手拉手模型．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，即可得：△ABD≌△ACE．
手拉手相似：改变全等的条件，即线段由相等变为成比例，AB:AC=AD:AE，∠BAC=∠DAE，即可构成手拉手相似．
可将条件化为：当△ABC和△ADE为直角三角形，且∠BAC=∠DAE，
可得△ABE∽△ACE．
反相似手拉手：将其中一个三角形“反”过来，故称反相似手拉手．
特别地，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，则有FC=FE，FC⊥FE．
模型证明
在△ABC中，分别以AB、AC为斜边分别向外侧作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，∠ADB=∠AEC=90°，F为BC边中点，连接DF、EF，求证：DF=EF，DF⊥EF．
法1：构造中位线与斜边中线
法2：还原手拉手
法3：倍长中线
法4：构造三垂直模型
中考题中的反相似手拉手：
动态探究——运动中的反相似手拉手
方法提炼——静止的反相似手拉手观察
在旋转专题中关于“半角模型”与“三垂直模型”知识点已经有所介绍，学习模型，大概有这样的不同阶段：
1、认识模型——了解模型的基本条件及基本结论；
2、理解模型——理解模型的构造，灵活变换条件与结论，以及条件的弱化和结论的拓展；
3、构造模型——结合已知条件与相关模型，添加辅助线构造模型解决问题．
以几个题目来练习回顾下关于“半角模型”与“三垂直模型”：
04
模型练习
半角模型的基本结论
半角模型中的计算
三垂直得线段关系
构造三垂直求面积最值
三垂直模型在综合题中的应用
等腰直角——构造三垂直
与勾股定理结合
05
例题变式—当半角遇到三垂直
从以上例子不难发现，半角模型常见为题型，我们需要了解的是给定什么样的条件会有半角模型，如下图，条件可以是：
配置一：已知∠EAG=45°，则为半角模型；
配置二：已知AE平分∠BEG或AE平分∠BAF（AG同理），则为半角模型；
配置三：已知EG=BE+DG，则为半角模型．（可构造半角EAH，证H、G重合）．
至于三垂直模型，则更多以一种方法运用，其作用一方面在于得到不同线段之间的数量关系，另外也可“化斜为直”，便于计算．那在什么条件下考虑构造三垂直呢？
配置一：当存在等腰直角时，可考虑构造三垂直；
配置二：当存在45°时，先由45°构造等腰直角，再构造三垂直．
当半角模型的配置一遇到三垂直的配置二，不妨先来看个例子：
典型例子：当半角遇到三垂直
本题难度并不大，但巧妙地将半角与三垂直结合在一张图中，条件与结论的巧妙组合，并且还可以有更多变形．
在本题图中，除了正方形条件外，其实还存在另外三个条件与结论：
（1）∠DEH=90°；
（2）∠EDH=45°；
（3）∠CBH=45°．
其中任意两个组合均可得到第三个，本题是由（1）、（2）结合得到（3）．
所以，还可以：
变式一：由（1）、（3）→（2）
变式二：由（2）、（3）→（1）
继续看一些练习：
模型结论的探究
模型的另类反推
【写在最后】对于不同的知识点，其定位是不同的，模型亦然，认识模型、理解模型、运用模型，再去看题目的时候，可以发现所谓的变式就是条件与结论的不同组合，从条件出发选择恰当的方法，当条件各司其职时，离正确答案也就很接近了~