利用几何画板求解旋转圆盘上沙堆母线的轨迹方程

视频中有一个小娃娃，他用沙子在健身用的转盘上堆起一个沙堆，然后旋转转盘，沙子飞出，在转盘上仅留下一些断壁残垣。不少网友对残留物的形状产生了浓厚的兴趣，微主也是一样。

一个小娃娃做的游戏，看似简单，却让大人们抓耳挠腮，这个旋转后的残留物的形状确实不好解决。

人们习惯于解决转盘静止的问题。当转盘静止的时候，沙子在转盘上堆积成一个圆锥的形状，圆锥母线与底面的夹角等于沙子的安息角，而安息角的正切值等于沙粒之间的最大静摩擦系数。

如果圆盘旋转起来，问题就大不一样了。

实际上，残留物肯定是中间高四周低的丘状物，丘状物的外形应该绕中心对称轴旋转对称，可以建立母线斜率与偏离对称轴距离的关系式，并由此推导出母线的方程。

为了解决这个问题，可以选择匀速旋转的圆盘为参考系，引入惯性离心力，分析沙粒在重力，支持力、最大静摩擦力和惯性离心力四个力的作用下的平衡问题，建立微分方程，可以解得沙堆母线的方程为

在几何画板软件中，以重力加速度为10m/s^2、圆盘旋转角速度为1rad/s和最大静摩擦因数为1为初始条件，绘制沙堆母线函数方程的轨迹，可以得到沙堆的轮廓线如下图所示

沙堆底部的半径可以利用物体在旋转圆盘上保持静止的条件解出，沙堆的高度可以利用母线的轨迹方程解出。

小娃娃在视频中的做的这个小实验，对于圆盘上残留物的形状，圆盘如果不转，高中生可解出；如果圆盘匀速旋转，则需要大学生才能解出了。

千万不要轻视小娃娃提出的问题，因为每一个小娃娃，都是天然的科学家！！！

| 创客焦作 | 

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