初数几百年重大错误使康脱推出康健离脱的百年病态集论 ——让5000年都无人能识的标准无穷大自然数一下子浮出水面
初数几百年重大错误使康脱推出康健离脱的百年病态集论
——让5000年都无人能识的标准无穷大自然数一下子浮出水面
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]判断两点集是否≌的全新方法让：①3000年都无人能识的等长却不等形的伪≌直线段，②几何学有史2300多年来一直未能识的伪≌圆盘、伪≌射（直）线，一下子暴露出来。医学若将前所未知的“新冠”病毒误为已熟知的流感病毒，后果...；初等数学将前所未知的R外数误为已熟知的R内数从而将伪≌直线段误为≌直线段，就使康脱推出错上加错的更重大错误：直线段可～其真子集。数（点）集最起码常识表明应有几何科普知识:至少有两个元点的图A≌A放大（缩小）变为B（不≌A）必≠A。此知识让2300年都无人能识的有无穷多个公共点但又不重合的两直线一下子浮出水面。从而表明小学生也知的几何科普知识:“有无穷多个公共点的直线必重合”“等长闭直线段必≌”其实是肉眼直观错觉。初等几何最最起码常识:图A=A≌A，让5000（2500）年都无人能识的>N（R）一切数的标准无穷大自然数（实数）以及它们的倒数一下子浮出水面揭示存在比R轴长的直线（几何学有史2300多年来一直不知有长度不同的直线），进而揭示直线的放大（缩小）变换可使直线变长（短）。
[关键词]用而不知的R外“更无理”标准实数；伪≌直线段；将两异直线段（区间）误为同一直线段；将无穷多各异假N（R）误为N（R）；放大、缩小的相似变换；伟大数学家莱布尼茨
党中央非常重视科普工作。科普文的读者是大众而非少数专家，请学生们特别注意：若只研究各直线段的长度及研究其与某直线是否⊥等，则中学课本的“两端点分别重合的直线段重合”是没大错的；但当需深究图形由多少个元点组成、科普书中康脱的“部分可=全部”是否“最伟大创造”这类深刻问题（物理学家及运用数学解决工程问题的工程师是不用考虑这类问题的,但数学教师须研究这类深刻问题。）时，这一说法就是使康脱误入百年歧途的重大核心错误了（见第3节）。中学课本的“各直线形状相同”是指外部形状。本文发现：直线等点集是有外部形状和内部形状之分的，互不≌的直线是有大小（即长度）或形状（内部形状）的差别的，当只需研究圆盘的面积而无需研究其由多少个元点组成时就不用管它的内部形状。课本应说明：“当...时可将各等长直线段（大小相同的圆盘）视为相互≌的点集。”其余类推。这一来课本就没有大错了。李醒民等编科普书《10个震撼人心的科学发现》中百年集论名列各重大发现之首。有科普书将百年集论誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。然而科普短文《中学数学几百年重大错误：将两异数列误为同一数列——百年病态集论的症结》（见深圳科普网）指出集论是极荒唐谬论，所以“最伟大创造”其实是将歪理邪说误为“高深理论”。集论是统治数学王国的国王，短文将这国王“拉下马”了，但限于篇幅短文不得不漏掉了极为重要的论据，本科普文是对短文的重大补充。教（读）书的科普知识：教（学）而不思是师生的大敌，“一切以标准答案为准”是学风不正的表现。科教工作者应：不唯书不唯上，只唯实。学习前人知识是为了见前人所不能见以创造前所未有的知识（杰出人才的特征），而非为了简单重复前人认识和应付考试。注：现在是互联网时代，俄罗斯一数学家获百万奖的论文只是发表在网上而没在纸质期刊上发表。
1.图说数集最起码常识凸显拉伸变换前、后的直线必不重合——推翻直线公（定）理和中学几百年函数“常识”
初等几何2300年“最起码常识”：有无穷多个公共点的直线必重合。据此有初中几何的直线公理即希尔伯特的《几何基础》中的公理（有书“证明”这是定理）：过空间两异位置点有且只能有一条直线。继而有……。直线A有两异元点a和b，另一直线≠A经运动变为通过a和b的直线B，据直线公理A=B，于是有“定理”：凡直线必≌。
设集A=｛x｝表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A；F=｛x、y｝=｛x｝∪｛y｝=U∪V表F各元均由x或y代表，相应变量x（y）的变域是U（V），其余类推。变数n取自然数。挖去“自然数集”N=｛n≥0｝的0得N+=｛n≥1｝⊂N。“实数集”R所有非负元x≥0组成R+。R⊃N各元x均有对应标准实数x+1、2x、xn（n≥2）等等。同一字母x可代表各不同的数，同样为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集，其余类推。
本文中集合均至少有两元。定义：若数集A可保距变为B则称A≌B。显然A≌A。可将本文中关于图形的论述全部去掉（即可没点与点集概念）而不作任何几何解释地仅凭数（数组）集相等、≌的定义证明两集是否相等是否≌。
数（点）集最起码常识：若A（B）各元x（y）有与之对应相等的元y（x）∈B（A）即A各元与B各元可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应）则称A=B；若可一一对应近似相等则A≈B。若点集A与B各元点可一一对应重合则称A=B。本文最关键论据之一：若A与B是同一集则A必可（不是“只可”）恒等变换地变为B=A。
天体力学中的地球可是质点。与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0），此x变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+δ还在管道g内即实数的改变可形象化为g内质点的位置的改变（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的质点是同一质点）。R可形象化为R轴, R各数x可形象化为R轴各点，变数可形象化为g内动点。
复平面z=x+iy可放大成平面2z=2x+i2y=u+iv从而使z面的x轴被放大为u=2x轴。R各元x不保距变为y=1.001x组成｛y｝（y的值域）的几何意义是R轴即x轴各元点x沿管道g不保距平移变为点x+δ=y=1.001x组成元为点y的y=1.001x轴即x轴拉伸（放大）变换为y=1.001x轴（不≌x轴）叠压在x轴上。其余类推。中学数学认定y轴=x轴（自有函数概念几百年来数学一直有函数“常识”：R各元x的对应数1.001x的全体是R），因有直线公理。其实这是肉眼直观错觉。显然R各元x只可与各对应数y=1.001x=x+0.001x∈｛y｝中的x一一对应相等而与各y=（1+0.001）x≈x本身一一对应近似相等：x↔1.001x≈x。在放大变换：x↔1.001x（>x>0）中显然当且仅当放大系数1.001变为1时才是恒等变换。在放大、缩小变换：x↔kx（↔两边的x是同一x）中当且仅当放缩系数（正常数）k=1时才是恒等变换（k≈1时是近似恒等变换），即当且仅当k=1时各x与各对应数kx才能一一对应相等。所以应有
h几何起码常识:至少有两个元点的图A均匀放大（缩小）变为B（不≌A）必≠A（因A不可恒等变换地变为B）——推翻直线公理。
各x变为y=x（y≈x）是恒等（近似恒等）变换；因“≈”与“=”不能同时成立故x轴近似恒等变换地变为y=1.001x（≈x）轴≠x轴，即x轴各点x与（叠压在x轴上的）y=1.001x轴各点y不可一一对应重合。当然肉眼不可察觉此事实，但下文使人凭肉眼就能察觉。
xy平面的x轴各点（x，0）均有两对应点：点（x，y=x）∈直线y=x和点（x，y=1.001x）∈直线y=1.001x≈x，所有对应点组成平面直线：y=x（y 的变域是R）和y=1.001x≈x，这两线近似重合的原因是：两线各有共同横坐标x的点的纵坐标y=x与y=1.001x≈x一一对应近似相等；显然若一一对应相等则两线必重合，故其不重合形象直观地说明R各元x与各对应1.001x≈x不可一一对应相等。详论见[1]。第5节证明了有正数x∈R的对应数1.001x“更无理”地>R一切数x而不可与R任何元x对应相等。
“无界”的曲、直线互不≌从而更不相等。数学图形可是离散的点的点集。“无界”的“整数点集”Z={...，-2，-1，0，1，2，...（各数是数轴上点的坐标）}(可看成是“虚直线”：.......)各元点x=±n（n∈“自然数集”N）∈R轴不保距平移变为点x+δ=2x=±2n组成｛±2n｝(虚直线)不≌Z从而更≠Z。中学的“图A≌A”说明A变为B=A≌A不一定是恒等变换但一定是保距变换。
h定理1：数（点）集A=B的必要条件是A≌B(这是[2]中的h定理3)。
证：A=B必可恒等变换地变为B=A≌A，而恒等变换是保距变换，所以B=A的必要条件是B≌A。注：若点集B=A≌A则B与A大小与形状都相同即B≌A。证毕。
据h定理1及h几何起码常识一空间直线（数轴）A不保距地伸缩（放大、缩小）变为B（不≌A）≠A可变为无穷多各异直线相互叠压在一起形成平行直线丛（各线互不≌）；而直线公理使中学几百年解析几何一直只识其中的一条直线且将无穷多各异线（数轴）误为同一线（轴）：A。进而将无穷多各异平面（空间体）误为同一点集。注：平面（空间体）由无穷多相互∥的直线（平面）组成。
据h定理1x轴各元点x不保距平移变为点y=x+δ=xn (常数n是奇数3，5，... )生成元为点y的y=xn轴（不≌x轴）≠x轴，中学“y轴=x轴”及复变函数论的相应结论是肉眼直观错觉。...。同理中学一直将无穷多各互不≌的射线x≥0、y(x)=xk≥0（正常数k≠1）、ψ(x)=kx≥0、...，误为同一线。...。可见h定理1使2300（300）年初等几何（解析几何）一直未能识的伪重合直（射）线一下子露出原形。
2.图说变距变换必使一维空间中点集变形
人的骨头C得了骨质疏松病变为D，肉眼看C=D，但其实两者有根本区别。A与B是否≌不能凭肉眼直观而须严格证明,保距变换概念是能放大无穷大倍的思维显微（望远）镜。由3个点组成的A=｛…｝中两端点不动，中点往左偏移但保持在两端点之间就使A变形为没中点的B不≌A；点还是这些点∈A，但其不保距地改变位置后形成的点集与A有不同的“长相”。
框框……内的点集（图形）K各元点之间任意交换位置后还是原图形，但若其中有两个点之间的距离变大（小）（集的组成成员没变但组织结构变了）则必使K变形为≠K。注：集的组成成员与集的元素是有根本区别的，例{3,3,3}由3个3组成，但其元却只有一个。不在同一位置的两质点形成的点集作保（变）距运动可形成无穷多各异点集均由这两质点组成。所以质点的坐标与质点本身有根本区别从而使质点集有数（数组）集所没有的独特性质：两异点集的组成成员可完全相同，正如两异数列的组成成员可完全相同一样（数列N至少有两个数任意改变前后位置就使N变为≠N的数列还由N一切数组成）。所以不改变组成成员的变距变换必改变点集的组织结构。数形结合须跃出根本误区。将R轴各无理数点都挖去使R轴变形为有许多“空隙”的有空隙直线J不≌R轴，但肉眼不能察觉J与R轴有不同的形状。同样可将K看成是有“洞”闭直线段，观察图K可知：一维空间内至少有2元的点集A的组成成员不变，但各成员不保距地改变位置就必使A变形为B不≌A；直线段K保序不保距地均匀收缩变短不能成为K的真子集，因收缩变换会改变点集的“点密度”（严格证明见下节）。当需深究图形由多少个元点组成,作直线运动的点是如何从一位置有序连续运动到另一位置即要从数、数量关系的高度上来定量描述连续运动时，就须深入到“点”这一层次上来研究几何图形；一维空间内组成成员相同但组织结构不同的图形有不同的内部形状,正如棉线与铁线有根本区别一样。当无需深究...时就可不管这些区别。
3.让3000年都无人能识的伪≌直线段一下子原形毕露——几百年“直线段L均匀缩小变短就成为L的一部分”是使康脱误入百年歧途的几百年重大核心错误
公元前1100年中国人商高同周公的一段对话谈到了勾股定理说明人类认识与研究几何学的直线段起码已有3000多年。有人体穴位图A和B，A（B）中各穴位P（P′）到太阳穴P0 (P0′)的距离是变数ρ（ρ′）≥0，若B≌A则显然ρ′与ρ必是同一变数，P0与P0′互为合同对应穴。文[1]有一判断两点集是否≌的新方法：
h定理2：若点集A各元点x保距变为点y（x）生成B=｛y（x）｝≌A则A各点x到A任一固定点x0的距离ρ=|x-x0|=ρ′=|y（x）-y0（x0）|=B各元点y（x）到点y0（x0）（点y0与点x0互为合同对应点）的距离，即ρ′与ρ是同一距离函数。同理A与B≌A可是二、三维空间点集，…。
证：由A≌B的定义ρ′=ρ。同理…。证毕。
要注意水平闭直线段A≌B且A∥B中A的左端点与B的左端点不一定是合同对应点，将非合同对应点误为合同对应点就会得错误的结果。保距变换将直线段A的中心点变为新线段B≌A的中心点即若A≌B则A的中点与B的中点必互为合同对应点。
同一月亮肉眼看是光滑球体，用望远镜看却是另一形象；同样有两直线段肉眼看形状相同，思维显微镜下却形状各异。区间[0，1]表示0与1及0与1之间所有数组成的集，但要注意本文表明[0，1]与[0，1]⊂x轴或x′轴等，是不同区间；...。
R轴即x轴收缩变换为y=0.5x轴≠x轴。自有函数概念几百年来数学一直断定“定义域=[0，2]⊂R的y=x/2=0.5x的值域=[0，1]⊂R”。这一中学函数“常识”其实是肉眼直观错觉。直线段L=[0，2] ⊂x轴有子部D=[0，1]⊂x轴，L各元点x变为点y=x+δ=0.5x生成元为点y的线段D′（～L）=[0，1] ⊂y=0.5x轴即L均匀缩小变短为D′～L。～L的D′≠D⊂L的理由：⑴假设D≌D′成立则据h定理2相应的距离ρ=ρ′，然而D各点x到D的中点x=0.5的距离ρ=|x-0.5|，D′各点y=0.5x到D′的中点y=0.5的距离ρ′=|0.5x-0.5|≠ρ；故假设不成立即D不≌D′，据h定理1D≠D′。将3斤重的一包饼干A压缩成压缩饼干B使B的体积远小于A的体积，有人以为B是A的一小部分而将其一下子吃光，结果...。这是致命错误。同样线段L收缩变短为与D⊂L等长的D′～L不能成为L的一部分D，中学的D′=D是使康脱误入百年歧途的重大核心错误：其使康脱推出病态的“定理”：L～D⊂L。注：D′不≌D说明D不可恒等变换（一种保距变换）地变为D′=D。⑵据下述h定理3D′=[0，1] ⊂y=0.5x轴有正数元0.5x<D一切正数x使D ′≠D 。
可见≌图概念表明有等长不等形直线段⊂相应直线——说明有形状各异的直线（直线由直线段组成）。h定理2让3000年都无人能识的伪≌直线段一下子原形毕露。骨头的内部形状随骨密度的改变而改变，点集的内部形状随“点密度”的改变而改变；有等长直线段各有不同的“点密度”（限于篇幅本文无法详谈文）从而各有不同的内部形状，h定理2如“x光机”使人能透视到直线（段）的内部形状。出现医学（数学）x光机使医学（数学）发生革命飞跃。“肉眼”阶段的数学不能察觉有等长不等形直线段。
若圆盘A≌B则A与B的圆心必互为合同对应点。直线段D绕其中点旋转一周画出的圆盘A的构造材料是A各条≌D的直径，构造材料不同的圆盘有不同的内部形状。复平面z=x+iy可缩小成平面0.5z不≌z面而叠压在z面上。z面有圆盘G：|z|≤2及G的真子集圆盘K⊂G：|z|≤1；G收缩成～G的圆盘K′⊂0.5z面：|0.5z|≤1叠压在K上，据h定理2可证“K=K′≌K′”其实是肉眼直观错觉，K与K′有不同的内部形状（见[1]）。注：圆柱体由圆盘组成。
4.图A≌A让中学生也能一下子认识5000（2500）年都无人能识的N(R)外标准无穷大自然数（实数）
数学史表明没无穷数就没高等数学，正如没数学就没物理学一样。有过人科学洞察力的伟大数学家莱布尼茨:“虽然人们经常使用的只是通常的数，并没有引进任何无限小或分母无限大的数，但它们却是同时存在的[3]。”自识自然数5000多年来数学一直未能证明存在与1相隔无穷多个自然数的标准无穷大自然数及其倒数，从而否定存在这类数，正如西医否定人体存在经络系统那样。
现有数学中的射线均没有作“绕其中心点旋转180°”的变换，故若射线A保距变换为B≌A则A与B的起点必互为合同对应点。点集N=｛0，1，2，...，n≥0，...｝（各数是数轴上点的坐标）⊂x轴可看成是“虚射线”：........，N有子部虚射线N+=｛1，2，...，n≥1，...｝⊂N。虚射线N各元点x=n≥0保距平移变为点x+δ=y=n+1组成H=｛y=n+1≥1｝即图N沿x轴平移变成H≌N。自有无穷数列概念几百年来数学一直认定N+=H≌H。假设射线N+≌H=｛1，2，...，n+1≥1，...｝成立则N+与H的起点必互为合同对应点，据h定理2相应的距离ρ=ρ′；然而N+各点n≥1到N+的起点n=1的距离ρ=|n-1|（n≥1，n-1≥0）= n-1≥0，H各点n+1≥1到H的起点n+1=1的距离ρ′=|n+1-1=n|=n≥0（n+1≥1）；ρ′≠ρ（ρ′的定义域是n≥0的变域N，ρ的定义域是n≥1的变域N+）说明假设不成立即N+不≌H。据h定理1N+≠H。
x轴即R轴有两子部射线：x≥0（即射线R+）和射线S⊂R+：x≥1。R+沿R轴平移距离1变为元是点y=x+1≥1（x≥0）的射线S′（～R+）：y=x+1≥1与S“重合”，按以上证明N+≠H的方法易证有共同起点的射线S⊂R+和S′没≌关系,据h定理1S={x≥1}≠S′={x+1≥1}。所以中学几百年“常识”：“S=S′～R+”是肉眼直观错觉；这错觉使康脱推出病态“定理”：R+～S⊂R+。据≌图概念，形状相同但互不≌的S与S′必大小即长度不同，严格证明见下节。读者画出S⊂R+、R+的图像可一眼看出它们有不同的长度即射线S⊂R+比射线R+～S′短（几何学有史2300多年来一直不知有长度不同的射线）。关键是平移运动不能改变射线的长度。“真理都是很朴实的。
保距对应是“一对一”的对应，“一对多”的对应不是保距对应使相应的像与原像不≌。N各n的对应数n+1的全体组成H=｛n+1｝。N=｛n｝各点n有两个对应点：n、y=n+1>n，所有对应点生成J={n、n+1}=｛n｝∪｛y=n+1｝=N∪H，这非保距变换使J不≌N（这变换等价于图N先平移成H≌N，然后H与N 合并成J。），据h定理1J≠N。有人说因N+=H故N∪H=N∪N+=N≌N即这“一变二”还是保距变换，显然这是因不懂保距变换而犯的错误。包含N的J=N∪H≠N说明J必至少有一元y∈H在N外，这N外的y=y0=n0+1>n0∈N显然>N一切数n，式中n0=Ω是N最大元，因其后继y0=Ω+1在N外。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的N内、外标准无穷大自然数。人类认识自然数后的5000年里一直无人能识此类无穷大自然数。发现Ω说明N的任何真子集的元都必少于N的元。详论见[4][5]。
同理，R=｛x｝各元x变为两个数：x、y=x+1>x生成包含R的F={x、y=x+1}=R∪｛y=x+1｝不≌R中必至少有一元y=x+1>x∈R在R外而>R一切元x，若将此R外数记为σ则σ和σ+1等等及其倒数均是标准分析一直用而不知的标准无穷大、小正数，确如伟大的莱布尼茨所说:它们与R内有穷数是同时存在的。人类认识无理数后的2500年里一直无人能从数、数量关系的高度上来证明存在此类“更无理”数。初数一直将R外数误为R内数。
注：N有偶数n=2p和奇数n=2p+1，“N各数n（=2p、2p+1）变为两个数：n=2p、n=2p+1”其实是n变回自己；......。N各元n变为两个数：2n、2n+1生成N′={2n、2n+1}=｛2n｝∪｛2n+1｝不≌N，据h定理1N′≠N。所以N′是似是而非的假N。由此可见自有无穷数列概念几百年来数学一直将无穷多各异假N误为N。
5.x轴伸长变换成的y=1.001x轴是比x轴长的数轴——几何学有史2300多年来一直不知有长度不同的直（射）线
h定理3：数集A各元x可变大（小）为y（x）>（<）x组成的B=｛y｝必有元在A外而>（<）A一切元x使B≠A且B不⊂A。
证1（见已在“预印本”上公布的黄小宁的相应长文）：A=｛x｝各元x变为两个数：x、y≠x组成C=｛x、y｝={x}∪{y}=A∪B不是保距变换使C不≌A，据h定理1C≠A；包含A的C=A∪B≠A说明C中的B⊂C必至少有一元∈C在A外。
证2：“对A一个不漏的每一（一切）元x都有对应数y（x）>（<）x”明确表示有数y（∈B）>（<）A一切元x。关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含意。问题是不少人为了考试得高分而扼杀自己的正常思维能力。能否认识一字那么浅的重大学术真相关键不在智力因素而在非智力因素：是否敢做说光身皇帝光身的那个“无知小孩”。证毕。
R轴即x轴放大变换为y=1.001x轴（不≌x轴）叠压在x轴上。R所有正数组成的A各元x>0变大为y=1.001x>x>0组成B={y}，据h定理3B必至少有一元y=1.001x=t>x在A外而>A一切元x>0，显然t是>R一切元x的标准无穷大正数，-t是<R一切元x的负数。存在±t说明x轴放大（伸长）变换为y=1.001x轴是比R轴长的直线（均由标准实数点组成）；所以直线的放大（缩小）变换（放缩系数≠1）可使直线变长（短）。放大的逆变换是缩小变换。显然长度不同的直线没有≌关系。人类由发现无理数到发现“更无理”的t（其倒数是标准分析一直用而不知的标准无穷小正数<R一切正数）竟须历时2500年！
R轴即x轴收缩变小为y=0.5x轴≠x轴。第3节中的D=[0，1]⊂R所有正数组成的A各元x>0变小为y=0.5x<x>0组成B={y}，据h定理3B至少有一元y=0.5x<x∈A在A外而<A一切元x>0，这A外y显然是<R及D一切正数元x的标准无穷小正数。所以y=0.5x轴有正数点（的坐标数）y<x轴一切正数点（的坐标数）x。
据h定理3N各元n变大为n+1组成的H=｛n+1｝必有元在N外是“更无理”的标准无穷大自然数而>N一切数n。据h定理3R+各元x≥0保距变大为y=x+1组成的S′=｛y=x+1｝必至少有一元y=t″在R+外而>R+一切元。显然t″是>R一切元x的标准无穷大正数，这说明射线R+各元点x≥0沿R轴平移到新位置的各点y=x+1≥1中必有点y=t″∈S′“刺破天”地突出在R+外推翻百年“R完备、封闭”论及“R轴各点与各标准实数一一对应定理”，从而表明上节射线S′（不≌S）～R+的长度>射线S⊂R+的长度。
详论见已在“预印本”上公布的黄小宁的相应长文，也可见拙文《3000年不识伪≌直线段使中学数学有一系列重大错误——看图识5000年都无人能识的无穷大自然数∈N》http://www.360doc.com/content/20/0729/18/70996036_927464071.shtml，
6.结束语
“肉眼”数学因目光太短浅从而一直被无穷对象中的假象迷惑。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造5千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：从“肉眼”数学一下子突变成科学慧眼数学。王前：“当代数学大师陈省身先生曾预言:21世纪将是中国数学界在世界上发挥重大影响的世纪[6]”。
参考文献
[1]黄小宁。初等数学2300年之重大错误：将无穷多各异点集误为同一集——让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的直线段[J]，考试周刊，2018（71）:58。
[2]黄小宁。不等式、集合、几何起码常识凸显课本一系列重大错误——让2300年都无人能识的直线段一下子暴露出来[J]，数学学习与研究，2016（5）:151。
[3][美]鲁滨逊著，申又枨等译。非标准分析[M]，北京：科学出版社,1980:30。
[4]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。
[5]黄小宁。初等数学各常识凸显中学数学有一系列重大错误——“一一配对”让中学生也能一下子认识5千年无人能识的自然数[J]，课程教育研究，2017（50）：107。
[6]王前。探索数学的生命：哲人科学家大卫•希尔伯特[M]，福州：福建教育出版社：1996：188。