几何综合题半角旋转引发的思考，方法的局限性增大解题难度

话不多说，我们先看题目：此题是八年级正方形的综合题，一共三问，难在只能有八年级的全等及勾股定理去解题，九年级才学相似共圆及三角函数。偶尔大家觉得我分享了很多方法，题也比较难，会误认我我数学能力很强。其实我想说，你要愿意花一两天时间研究一道题，也会很厉害，很多方法是逐渐尝试摸索出来，或者逐渐优化，这个思考的过程很重要，由于精力有限思考也是断断续续的。

我们先看第1-2问的构造思路，通过四边形对角互补共定点一端线段对应相等想到旋转构造，对于第2问来说第2个图实用性很强，可以瞬间推出结论；

第三问需要利用角平分线所分线段对应成比例，这里八年级面积转化可以证出，这是以前分享过的图片；​

第三问先证45°角（补上方法）

解法一：通过已知的2倍关系结合角分线比例关系，可以直角算出AE和DE关系，再通过旋转造全等结合面积求出正方形的边长，最后求CH长度仍然用角分线比例关系；​

解法二：构造思路通过已知条件找角的关系，∠EAD+∠EDA=45°，结合角度关系通过正方形十字架垂直全等构造半角模型，再通过旋转证明出线段关系，通过设未知数在直角三角形中勾股定理即可求出AE和FG的关系，从而表示出AE和BQ，利用面积求出边长，再结合角分线所分线段成比例求CH长度；​

解法三：我用了一个逆推中位线，但可能八年级也不能用，这个推出中点后求解很方便，只是提供个思路，大家可以借鉴下。当然求解CH方法也不唯一，我利用EH是角平分线所分线段成比例，求出HD，再结合直角三角形求解。也可以连接AC，因为AC和BD垂直，直接在勾股求CH即可。​

根据解法三完善成八年级解法，这么构造后计算量大大降低，利用三角形底和高的关系进行转化，断断续续想了两天逐渐优化。

此题是典型的半角旋转结合12345题型的结论，如果九年级或者中考出现，很多方法都可以用，此题就没什么难度可言了。初中平面几何之所以难，就是难在方法要符合学生的认知规律，有年级限制及解法限制，毕竟要面向全体学生。

以上仅仅是个人思路，当然也借鉴一点高手解法，希望对大家有帮助，如果有好的解法也欢迎分享。

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ED:EF=2:1,这个是怎么通过面积转化证出来的?

角平分线面积转化，认真看，有个图就是讲这个的

EG就是角平分线需要证明吧

是的，还是旋转解法，已经添加方法，修改审核中

不用旋转也行，连接AC交BD于O,则OE=OD=OB，这样△BED内部有两等腰三角形，∠BED等于△内角和一半即90

可以，直角三角形斜边中线的应用

我这其实就是四点共圆定理的初级证明，既然四点共圆不允许用，那就用证明四点共圆的方法好了[捂脸]

这个证法好，比旋转大法更简洁。

差不多这题的思路

高老师，有一点小小疑问：你的解法一和解法三开始的部分都用到了∠BED=90°，这个直角如果不能用四点共圆证明的话，就应该先用其他方法证明一下吧，不然学生会感觉比较突兀。

已经添加方法，修改审核中

对，加上这个直角证明就可以说EG是角平分线了。

是的方法跟一二问一样的思路

大哥说的很对，方法借鉴第1-2问，还是共顶点旋转，只是在另一侧。

第一问和第二问也可以不画辅助线不旋转。因为ABCE四点共圆，(1)等弦所对角相等即角ACB＝角AEB＝45度。(2)因为共圆，托罗密定理，设正方形边长为a, AE*a+CE*a＝BE*根号2a(AC＝根号2a)，一样可以得出AE+CE＝根号2BE。

没注意是8年级题，我解答超纲了

是的，而且很多地区避开四点共圆，托勒密初中也没有的，除非推导出来

不用四点共圆即可证明△BED为Rt△，连接AC，设AC、BD交于O，由∠AEC＝90°，且AO＝CO，知EO＝AO＝CO，则可得EO＝BO＝DO，即可说明△BED为Rt△

是的，如图

我也只能解到这里，还有那个角平分线的第二性质差不多也就用完全等知识了。后面的利用面积解决边长的问题，除了相似和三角函数，我还真没想到八年级的方法[捂脸][捂脸][捂脸]。我大概只能猜人教版或者跟北师大有可能不一样呢，哈哈哈哈

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八年级三角形典型题