这是圆的综合题,要证切线并求线段长,关键是切线的判定和性质

例题:(初中数学综合题)如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接AC,BC.过点O作OE∥BC交AC于E,过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点F.

(1)求证:DC是⊙O的切线;

(2)若∠BAC=30°,AB=4,求线段CF的长.

知识回顾

切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.

切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

平行线的性质:两直线平行,同位角相等。两直线平行,内错角相等。两直线平行,同旁内角互补。

分析与解答:(请大家注意,想要正确解答一道数学题,必须先将大体思路弄清楚。以下过程可以部分调整,并且可能还有其他不同的解题方法)

(1)证明:连接OC,(图略)

(证明切线连半径是常用辅助线)

∵OE∥BC,

∴∠OEA=∠ACB,(根据平行线的性质得到)

∵AB是⊙O的直径,

∴∠OEA=∠ACB=90°,(由圆周角定理得到)

∴OD⊥AC,

∴AE=EC,(由垂径定理得到)

∴DA=DC,(根据线段垂直平分线的性质)

∵DO=DO,OC=OA,

(全等三角形的判定SSS)

∴△ADO≌△CDO(SSS),

∴∠DAO=∠OCD,

∵DA为⊙O的切线,OA是半径,

∴∠DAO=90°,(切线的性质)

∴∠OCD=∠DAO=90°,即OC⊥DC,

∵OC是⊙O的半径,

∴DC是⊙O的切线.(切线的判定)

(2)解:在Rt△ABC中,∠BAC=30°,

∴∠ABC=60°,

又∵OB=OC,

∴△BOC是等边三角形,(等边三角形的判定)

∴∠BOC=60°,(等边三角形的性质)

∵AB=4,

∴OC=2,

在Rt△COF中,

tan∠BOC=CF/OC(三角函数的定义)

=CF/2=√3,

∴CF=2√3.

(完毕)

这道题是关于圆的综合题,考查了切线的判定和性质,垂径定理,圆周角定理,等边三角形的性质等,灵活运用切线的判定和性质是解题的关键。温馨提示:朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法,欢迎大家留言讨论。

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