王元院士：如何理解“现代数学”
编者按
《数学大辞典》（科学出版社，2010）出版以来，得到了广大读者和有关各方的鼓励和肯定。国家出版基金经过论证，决定支持出版《自然科学大辞典系列》，首批项目包括数学、物理学、化学、生物学与地学五大学科，其中《数学大辞典》（以下简称《辞典》）作为第二版出版。
数学大辞典（第二版）
作者：王元
《辞典》第一版的出版，首先要归功于近三百位撰稿人的辛勤劳动，精心撰稿，及约二百位审稿人的认真审阅，使之完美。还要感谢撰稿人与审稿人所在的工作单位给予他们的宝贵支持，及科学出版社给予的大力支持与良好的编辑出版工作。
《辞典》的第二版，不搞一刀切，不规定各分支学科修改的数量，实事求是。但仍要求内容的正确性与严谨性，尽量做到行文的可读性、通俗性与趣味性。除在原来的内容基础上做了一些必要的修改、校订与补充外，特别注意新增了少量现代数学的内容，这应该是《辞典》以后修订的主要方针与着力点之一。关于这方面，我想借此机会，谈谈我的个人看法。
如何理解“现代数学”？数学是离不开它的内容的，数学的内容是发展的、动态的。具体地说，20 世纪 50 年代，苏联曾组织了几十位著名数学家（包括科尔莫戈罗夫、盖尔范德等）撰写了三卷本的《数学——它的内容、方法和意义》（以下简称《数学》）。我国立即组织数十位数学家进行了翻译，由科学出版社出版，以后重印了许多次。
《数学》总结了 20 世纪 40 年代前的数学，对当时的数学做了很好的总结。全书共 20 章，即：
数学概观
数学分析
解析几何
代数 (代数方程的理论)
常微分方程
偏微分方程
曲线和曲面
变分法
复变函数
素数
概率论
函数逼近法
近似方法与计算技术
电子计算机
实变函数
线性代数
抽象空间
拓扑学
泛函分析
群及其他代数系统
其中除第一章外，数学的“内容”占了 19 章，即全书篇幅的 95%。实际上，内容确定了，数学的方法与意义也就清楚了。
应该说，《数学》的出版，对中国数学的发展的影响是巨大的。中国数学的科研单位与大学数学系的研究室的设置，科研方向的制定，以及大学课程开设等都是以《数学》为指导，以它为框架。
按照《数学》列举的 19 个分支来衡量，当时中国在很多领域只有少数人在工作，甚至还有不少缺门。经过十几年的努力，有少数领域，中国数学家的工作接近了国际先进水平，特别是诸空白领域得到快速的填补与建立。
自从《数学》在中国出版至今，已过去了五十多年，这期间，国际上，数学经历了快速与深入的发展，而我国有段时间由于“左”的思潮与做法不断干扰着数学的发展，从技术层面上讲，表现在对所谓“理论联系实际”的片面解释，有一些方面的工作受到抑制，加之某种程度上的闭关自守，特别是“文化大革命”的否定一切，曾使我国的数学与国际先进水平的差距逐日拉大，有些领域甚至不了解其内容，产生了新的空白。
我们首先要弄清现代数学的内容是什么。很多人已经阅读过著名数学家高尔斯（T. Gowers）主编的《普林斯顿数学指南》（Princeton Companion to Mathematics，Princeton University Press，2008）（以下简称《指南》）。该书已受到了广泛的关注，获得了 2011 年的欧拉图书奖，它将现代数学的内容分成 26 个分支来加以介绍，即
代数数
解析数论
计算数论
代数几何
算术几何
代数拓扑
微分拓扑
模空间
表示论
几何与组合群论
调和分析
偏微分方程
广义相对论与爱因斯坦方程
动力系统
算子代数
镜像对称
顶点算子代数
枚举与代数组合学
极值与概率组合学
计算复杂性
数值分析
集合论
逻辑与模型论
随机过程
临界现象的概率模型
高维几何与其概率类似
比较一下《数学》所列举的 19 个数学领域与《指南》所列举的 26 个领域，是否可以认为《数学》中的领域的主要内容，包括最基本的概念、方法与结果，已成为现代数学家应有的基本知识？这些领域中的一部分已经完全成熟，另一部分还会继续发展下去，但已不构成数学的主流方向。
《指南》所列举的 26 个领域中，有些是由《数学》中某领域的某方面的快速深入发展而形成的，或由某些领域交叉发展而派生的，有些则是由数学外部需要的促进而生成的。它们是国际上现代数学的热点与主流。
国内的数学工作者，如果能积极投身相关领域，将有望对我国今后数学的大发展大繁荣做出积极的贡献。
此外，所谓纯粹数学与应用数学的严格界限是不存在的。一定要找一点差别，则前者主要以数学的内部矛盾为推动力，而后者则以数学外部世界的需求为主要推动力。比较《数学》与《指南》，后者在应用数学方面的比重加大了。这表明随着科学技术的飞速进步，数学外部需求将愈加成为数学发展的推动力。因此，我们应该重视应用数学。
从技术层面讲，我想今后关于科研机构的设置、方向的选择，以及大学课程的安排，都应逐步加大现代数学的成分，特别要鼓励年轻数学家到主流数学中去工作。
《辞典》第二版时，我们增加了一些现代数学的内容，也正是基于以上的考虑。