趣味数学三题

好友雷鸣（@老牛）和我一样喜欢趣味数学，最近又为我带来三题。第一题  吃梨的妻子们四对夫妇坐在一起闲聊，四位妻子中，A吃了3个梨，B吃了2个梨，C吃了4个梨，D吃了1个梨。四个男人中，甲吃的梨和他妻子一样多，乙吃的是他妻子的2倍，丙吃的是他妻子的3倍，丁吃的是他妻子的4倍。四对夫妇一共吃了32个梨。请问：丙的妻子是谁？第二题  一家人平安过河的方法有一个家庭，1个爸爸、1个妈妈、2个儿子、2个女儿、1个仆人、1条狗。爸爸不在，妈妈会打儿子；妈妈不在，爸爸会打女儿；仆人不在，狗咬人。只有爸爸、妈妈、仆人会开船，船1次只能坐2人。请问：这一家人该如何用一只船平安过河？第三题  看看谁做对了甲、乙、丙三个人在一起做作业，有一道数学题比较难。当他们三个人都把自己的解法说出来以后，甲说：“我做错了。”乙说：“甲做对了。”丙说：“我做错了。”在一旁的丁看了他们的答案并听了他们的说法后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个人说对了。”请问：是谁做对了？感兴趣的朋友，请开动脑筋，想想如何解答。想好后，请欣赏三组狮城街景照片，每组照片后是一道题的解题答案。

第一题的解答题目给出的已知条件可表示如下：A=3，B=2，C=4，D=1A+B+C+D=10……①甲妻+乙妻+丙妻+丁妻=10……②甲+乙+丙+丁=甲妻+2乙妻+3丙妻+4丁妻……③甲+乙+丙+丁+A+B+C+D=32……④解：各位妻子吃梨个数最小是1，最大是4，且各不相同。④-①，得：甲+乙+丙+丁=22……⑤将⑤代入③，得：甲妻+2乙妻+3丙妻+4丁妻=22……⑥⑥-②，得：乙妻+2丙妻+3丁妻=12……⑦分析⑦，乙妻+2丙妻>3，∴3丁妻<9，∴丁妻<3，∴丁妻只能是1或2。如丁妻=1，代入⑦，乙妻+2丙妻=9，∴乙妻必须是奇数 ，则乙妻=3，2丙妻=6，丙妻=3，与乙妻重复，∴丁妻=1不成立。由此，丁妻=2，代入⑦，乙妻+2丙妻=6，∴乙妻必须是偶数 ，则乙妻=4，2丙妻=2，则丙妻=1。所以，丁妻=2，是B；乙妻=4，是C；丙妻=1，是D；甲妻=3，是A。答：丙妻是D附：以上解答通过算式推导，虽然严谨，但是看起来很枯燥。现试用文字描述：根据题意，4男士和4位妻子共吃梨32个，减去4位妻子的10个，4位男士共吃梨22个，比4位妻子多吃12个。因为4位男士吃梨总数是1倍A妻、2倍乙妻、3倍丙妻、4倍丁妻之和，减去4位妻子吃梨总数（1倍A妻、1倍乙妻、1倍丙妻、1倍丁妻之和），得到的1倍乙妻、2倍丙妻、3倍丁妻之和，就是4位男士多吃的12。做一下测算，可知12=4+1*2+2*3，且唯一。所以，乙妻的吃梨个数是4，丙妻的是1，丁妻的是2，甲妻的是3。根据题意，D吃梨 1个，所以丙妻是D。

第二题的解答解题思路：1）为不让狗咬人，仆和狗不能分开，必须一起过河，过河后船由妈开回来。所以在仆和狗过河前，妈先过河，等在对岸，为避免爸打女，两女也要先送到对岸，与妈在一起。为此，一家子过河分为三阶段。第一阶段，妈和二女过河；第二阶段，仆和狗过河；第三阶段，爸和二儿过河。2）妈送女过河前，先要把爸送过河，免得她送一女过河时，爸打另一女；送一女到对岸后，再把爸带回，避免爸打该女。同理，爸送儿过河时，为防妈打儿，也需如此办理。过河步骤：此岸船上彼岸第一阶段儿,儿,女,女,仆,狗妈&爸→儿,儿,女,女,仆,狗← 妈爸儿,儿,女,仆,狗妈&女→爸儿,儿,女,仆,狗←妈&爸女爸,儿,儿,仆,狗妈&女→女爸,儿,儿,仆,狗← 妈女,女儿,儿,仆,狗妈&爸→女,女儿,儿,仆,狗← 爸妈,女,女第二阶段爸,儿,儿,仆&狗→妈,女,女爸,儿,儿←妈女,女,仆,狗儿,儿爸&妈→女,女,仆,狗儿,儿← 爸妈,女,女,仆,狗第三阶段儿爸&儿→妈,女,女,仆,狗儿←爸&妈儿,女,女,仆,狗妈爸&儿→儿,女,女,仆,狗妈← 爸儿,儿,女,女,仆,狗爸&妈→儿,儿,女,女,仆,狗

第三题的解答解：如果甲说的是错的，甲的数学题就做对了（因为他说自己做错了）。那么乙说的就是对的（因为他说甲做对了）。丙说的就应该是错的（因为只有一人说对了），于是丙做的也是对的（因为他说自己做错了），这样甲和丙都是做对的，有两人做对了，显然违背题意，所以不能成立。因此，甲说的是对的，即甲的数学题是做错了（因为他说自己做错了）。这样乙说的就是错的（因为他说甲做对了）。丙说的也就应该是错的（因为只有一人说对了），所以丙的数学题是做对了（因为他说自己做错了）。由此可见，在这三人中，一人（甲）说对了，一人（丙）做对了，符合题意。答：丙做对了。附注：