数学方法 | 代数思维(“数学思想方法导引”第25讲/共36讲)

       第25讲 摘要:代数思维是相对于算术而言的。算术思维着重的是利用数量计算求出答案的过程,这个过程具有情境性、特殊性、计算性的特点。而代数思维就其本质而言是一种关系思维,它的要点是发现(一般化的)关系和结构,以及这些关系和结构之间的关系,代数思维形成过程为从常量跨越到变量的“符号化”过程,从特殊跨越到一般的“形式化”过程,从程序跨越到结构的“结构化”过程,从单一性跨越到双重性的“操作化”过程。初等数学的代数思维常用方法主要包括:代数法、复数法、坐标法。
在有关几何问题的研究中,我们经常会对某些度量关系中的线段长、角度大小以及面积等采用设定的未知数表示,然后根据已知条件建立相应的关系式,最后采用代数上的恒等变换或解方程给出计算结果,从而确定度量关系。这种不依赖坐标系,用代数知识来研究几何问题的方法叫作代数法。
运用复数知识解答数学问题的方法,通常叫作复数法。这是一种特殊的代数法。运用复数法解答几何问题,基本思路是从问题的特点出发,画出复平面,选取相应的复数表示形式,根据题设条件,将几何问题转化为复数问题,通过计算与推理,完成对问题的解答。
通过建立坐标系,设定所给图形上的有关点的坐标和曲线的方程后,将几何问题转化为代数问题,然后运用代数知识求解,再赋予几何意义,从而获得对几何问题的解答,这种解答问题的方法叫作坐标法。运用坐标法解答几何问题主要的三个步骤:
第一步:选取恰当的坐标系,以便于确定关键点的坐标和关键曲线的方程,并易于计算为原则。例如,可选取图形的对称轴,相交直线和其他特殊直线为坐标轴,定线段的端点、中点以及图形的对称中心或其他特殊点为原点。
第二步:设定点的坐标与曲线的方程,一般应尽可能地减少参数,并使曲线方程的结构尽可能简单,便于计算与推理。
第三部:计算与推理。对此,除明确有关概念,熟知有关公式和方程外,还应注意利用所给图形的几何性质。

课件制作 | 张晓薇

责任编辑 | 张晓薇

审核指导 | 段志贵

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