椭圆内接等腰直角三角形个数问题

先看题目:

这是一位同学在昨天给我发来的题目,从难度上说,大约是浙江卷的平均水平,大大高于近几年的全国卷,与2016全国II(理)20题比较类似。这样的范围问题,难点就在于如何将题目的已知条件与要求的结论联系起来。

首先可以看出,要求离心率的范围,实际上就是要求出a的范围,令等腰直角三角形另两个顶点为B,C,显然AB,AC斜率均存在且不为0。而且由于AB⊥AC,那么AB,AC斜率是异号的,为了方便讨论,令AB斜率为k(k>0)。

现在根据题意,也就是k共有三个不同的值可以满足|AB|=|AC|,这样利用弦长公式将|AB|,|AC|表示出来,题目就变成了某个关于k的方程有且仅有三个根的问题:

到这里关于k的方程已经得到了,如果没注意到可以因式分解或者留意到k=1是方程的根,那么就要绕一些弯路,因式分解后处理比较容易:

当然也可以从函数的角度出发:

本题目最好对照2016全国II(理)20题食用。

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