第11讲 典型例题与练习参考解答：导数的概念与基本性质
本文对应推文内容为：
第11讲：导数的概念与基本性质
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1 ：试用导数的定义判定下列函数在定义域内可导，并求其导数.
(1) (为常数)；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
练习2 ：分别讨论函数
在处的可导性.
练习3 ：设函数在某点处可导，求
(2) 设在处连续且存在，试问在处是否可导？
试求.
练习7 ：设在 的某个邻域内有定义，则在 处可导的一个充分条件是( )
(A) 存在；
(B) 存在；
(C) 存在；
(D) 存在.
练习8 ：试确定常数的值，使得函数
在点处可导．
练习9 ：如果为偶函数，且存在，证明.
练习10 ：求函数的图形在处的切线方程和法线方程．
练习11 ：已知函数在处连续.
(1) 研究函数在处的可导性；
(2) 判断以下函数有几个不可导的点．
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1 ：试用导数的定义判定下列函数在定义域内可导，并求其导数.
(1) (为常数)；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
【参考解答】：(1) 由导数的定义，任取，则
即常值函数在全体实数范围内可导且导数恒等于0.
(2) 由导数的定义，任取，则
即函数在定义域内都可导，且有
(3) 由导数的定义，任取，则
即函数在定义域内都可导，且有
(4) 由导数的定义，任取，则
即函数在定义域内都可导，且有
练习2 ：分别讨论函数
在处的可导性.
【参考解答】：(1) 绝对值函数可以用分段函数描述为
故对处的导数分左右导数讨论. 由于
即函数在处不仅可导且导数值为0.
练习3 ：设函数在某点处可导，求
【参考解答】：由导数的极限式定义，改写极限式得
练习4 ：(1) 已知, ，求
(2) 设在处连续且存在，试问在处是否可导？
【参考解答】：(1) 由导数的定义和已知条件，得
练习5 ：若时，恒有，试问在处是否可导？
【参考解答】：令，得. 又
故由夹逼准则，得
即函数在处连续. 由于
故由夹逼准则，得
即在处可导，且.
练习6 ：若存在，且
试求.
【参考解答】：由函数导数的定义和导数的存在性，改写极限式，得
即.
练习7 ：设在 的某个邻域内有定义，则在 处可导的一个充分条件是( )
(A) 存在；
(B) 存在；
(C) 存在；
(D) 存在.
【参考解答】：(A) 由于，故，故
仅仅推知函数在处的右导数存在. (B)(C) 极限存在不能推出可导. 如取
将其代入极限式，可得
但函数在处不连续，因此不可导. 而(D)，则有
故极限存在即存在，故函数在 处可导. 所以(D)为在处可导的一个充分条件. 正确选项为【D】.
练习8 ：试确定常数的值，使得函数
在点处可导．
【参考解答】：要函数 在点处可导，则它必在该点连续，从而
由函数的定义式，可得左右极限分别为
又，故得. 另一方面，函数在点处可导，则左、右导数存在并且导数值相等. 代入，分别计算左右导数，得
于是得. 因此，当时，函数 在点可导.
练习9 ：如果为偶函数，且存在，证明.
【参考解答】：由已知 且存在，则
所以，即.
练习10 ：求函数的图形在处的切线方程和法线方程．
【参考解答】：由，得，故由导数的几何意义，可得切线方程为
即. 法线方程为
即.
练习11 ：已知函数在处连续.
(1) 研究函数在处的可导性；
(2) 判断以下函数有几个不可导的点．
【参考解答】：(1) 因为在处连续，则
绝对值函数可以改写成分段函数描述
故在分段点的导数存在性判定分左右导数分别判定并判定其是否相等. 于是由左右导数的定义，得
导数存在当且仅当，即时， 在处可导，否则不可导.
(2) 由(1)的结论，改写函数表达式为
由于，所以只有一个不可导点.
【注】：该题结论可直接用于判定包含有绝对值乘项的函数不可导点个数，当然其结论也可以应用(1)的思路与步骤，对绝对值等于0的点直接进行验证与判定.
相关推荐
高等数学课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的 高等数学概率其他 选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题！课件PDF文档请到QQ群文件分享下载！
● 历届考研真题及详细参考解答浏览 考研帮助 菜单中 考研指南真题练习 选项
● 全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部 竞赛实验 下 竞赛试题与通知 选项