解题的哲学思考—知其根、守其通、求其妙、思其变

选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》

老子《道德经》的二十八章:知其雄,守其雌,为天下溪……;知其白,守其黑,为天下式……;知其荣,守其辱,为天下谷……。
理解:老子哲学主张以静制动,以柔弱胜刚强。这种理解是不错的。但老子的这种思想,还有一个前提,就是要“知其雄”——首先要了解事物刚劲的一面,才能执守柔弱的一面。只有对事物全面了解,才能决定取舍。一般人往往片面了解或误解老子哲学,以为他一味地宣扬退让,这真是断章取义。实际上,老子是在有了“知其雄”的前提下,才有“守其雌”的结论。
那在数学解题过程过程中,知道题目或事物的本质;考察事物的一般性,深刻理解通法;思考事物的特殊性,求巧解;在前面的基础上,思考它的各种变化,即——知其根、守其通、求其妙、思其变。

法二:(求其妙:不等式恒成立求参数范围常常可以通过特殊值缩小参数的范围,结合原函数,观察这个范围是不是就是答案,如果是,就把问题转化为证明不等式恒成立的问题)

【考试中心的试题评价】试题突出考查了双曲线的方程、顶点、渐近线等基本概念,结合圆和特殊角度给出双曲线信息,为考生综合应用所学数学知识创造了条件,提供了拓展解题思路、提高分析问题水平的空间。试题精心设计,融入了多个知识点,考生可以用一般方法进行计算,也可以用几何方法简化计算过程。

【思其变 2】对题目中的数据和条件呈现的形式进行改变,得到上面的变式。

【思其变 3】从 ON = MN 到 ON = 2 MN 的改编,把问题变为了更一般的情况。

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